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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 Sa 21.06.2008 | | Autor: | marc62 |
| Aufgabe | Ein Kreis mit dem Radius R rollt gelichförmig auf einer Geraden. Zum Teitpunkt t=0 berührt der Kreis im Punkt P die Gerade. Ein ganzer Umlauf ist nach [mm] t=2*\pi [/mm] absolviert.
a, Geben sie den Ortsvektor r(t) des Punktes P an. (hinweis: stellen sie zunächst den Ortsvektor des Kreismittelpunktes auf. Der Ursprung des Koordinatensystems wird zweckmäßigerweise in den Punkt P zum Zeitpunkt t=0 gelegt )
b, Bestimmen sie die Länge des Weges den P während eines Ganzen Umlaufes zurückgelegt! |
zu a,
Ehrlich gesagt keine Ahnung
zu b ,
die Bewegung des Punktes P ist doch im Prinzip auch eine Kreisbewegung mit dem dem Durchmesser der des Umfangs des Kreises mit dem Radius R ???
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Hallo!
Der Kreismittelpunkt bewegt sich doch mit konstanter Geschwindigkeit fort. Demnach müßtest du doch eine Vektorgleichung für den MIttelpunkt aufstellen können. Im Grunde ist das nichts anderes als eine Gradengleichung in Parameterdarstellung, die du von der Schule kennen solltest.
Jetzt kommt noch die Bewegung des Punktes relativ zum Kreismittelpunkt hinzu. Mich welchem (zeitabhängigen) Vektor kannst du denn zunächst mal eine Kreisbewegung um den Ursprung beschreiben?
Bei der b) ist die Antwort: Leider nein! Die Figuren sehen eher elliptisch aus: Der maximale Abstand des Punkts zur Graden ist $2R$, aber der Abstand zwischen den Berührpunkten mit der Graden ist gleich dem Umfang, also [mm] $2\pi [/mm] R$. Falls die Figuren Halbkreise wären, würden sich beide Werte um den Faktor 2 unterscheiden, er ist aber [mm] \pi [/mm] .
Der Trick besteht darin, die Vektorgleichung aus a) abzuleiten, und den Betrag zu bilden. Du hast dann die skalare Geschwindigkeit des Punktes, und mußt diese über die Zeit einer vollen Umdrehung integrieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Sa 21.06.2008 | | Autor: | marc62 |
Ok , wunder dich nicht wenn ich mich dumm anstelle. Das Thema liegt mir irgendwie nicht.
Also der Ortsvektor des Kreismittelpunktes wäre doch eigentlich einfach
[mm] \begin{pmatrix} R/2 \\ R/2 \\ t \end{pmatrix}
[/mm]
oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Sa 21.06.2008 | | Autor: | marc62 |
Oder ist der Vektor folgender:
r(t) = [mm] R* \begin{pmatrix} cos \omega*t \\ sin \omega*t \\ t \end{pmatrix}
[/mm]
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Hallo!
zunächst ist das ein zweidimensionales Problem.
Dann sagen wir mal, die Grade soll die x-Achse sein. Dann befindet sich der Mittelpunkt doch generell in der Entfernung R von der x-Achse, und bewegt sich in Richtung x-Achse. Also so:
[mm] \vec{m}(t)=\vektor{0\\R}+t*\vektor{1\\0}
[/mm]
Hier wurde die Geschwindigkeit einfach mal auf 1 gesetzt.
Für den rotierenden Punkt gilt nun:
[mm] \vektor{R\sin(\omega t) \\-R\cos(\omega t)}
[/mm]
Beachte, daß das negative Vorzeichen dafür sorgt, daß der Punkt bei t=0 ganz unten ist.
Dies sind die beiden Bewegungen, die sich bei dir überlagern. Du mußt noch beachten, daß du [mm] \omega [/mm] so berechnen mußt, daß die Bahngeschwindigkeit der Kreislinie auch gleich 1 ist - sonst würde der Kreis rutschen oder durchdrehen.
KOmmst du nun weiter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 So 22.06.2008 | | Autor: | marc62 |
Ehrlich gesagt steh ich immer noch aufm Schlauch
Ok das mit $ [mm] \vec{m}(t)=\vektor{0\\R}+t\cdot{}\vektor{1\\0} [/mm] $ kann ic h nachvollziehen.
und hier
$ [mm] \vektor{R\sin(\omega t) \\-R\cos(\omega t)} [/mm] $ ?
[mm] \omega [/mm] ist doch eigentlich [mm] \bruch {s*\pi}{T} [/mm] wobei T hier gleich [mm] 2*\pi [/mm] ist also ist [mm] \omega [/mm] doch sowieso 1 , oder nicht
und wie genau überlagere ich jetzt die 2 Vektoren ??
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Hallo!
> und hier
> [mm]\vektor{R\sin(\omega t) \\-R\cos(\omega t)}[/mm] ?
>
> [mm]\omega[/mm] ist doch eigentlich [mm]\bruch {s*\pi}{T}[/mm] wobei T hier
> gleich [mm]2*\pi[/mm] ist also ist [mm]\omega[/mm] doch sowieso 1 , oder
> nicht
Oha, du hast recht, das steht ja so in der Aufgabe. Dann stimmt die erste Gleichung nicht ganz, du brauchst dort dann eher
$ [mm] \vec{m}(t)=\vektor{0\\R}+t\cdot{}\vektor{v\\0} [/mm] $
und mußt das v bestimmen. Die Rotationsgeschwindigkeit ist hier also festgelegt, und du mußt daraus die "Vorwärtsgeschwindigkeit" berechnen und einsetzen.
>
>
> und wie genau überlagere ich jetzt die 2 Vektoren ??
Durch simple Addition. Betrachte das ganze als Pfad:
"Gehe R Schritte nach oben"
"Gehe t*v Schritte nach rechts" (Dann bist du am Mittelpunkt)
Und dann:
"Gehe unter dem Winkel [mm] \omega*t [/mm] R Schritte weit"
In der Vektorrechnung bedeutet die Hintereinanderausführung solcher Schritte, daß du die einzelnen Vektoren addierst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 So 22.06.2008 | | Autor: | marc62 |
Ok , nach addition der Vektoren käme ich zu diesem Zwischenergebnis
[mm] {tv+R*sin(\omega*t) \choose R -R *cos(\omega*t)}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 So 22.06.2008 | | Autor: | marc62 |
Wenn dieser Vektor Richitg ist , muss ich also einfach nach t Ableiten, da
[mm] \vec [/mm] v = [mm] \bruch{d}{dt} [/mm] * [mm] \vec [/mm] r(t)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:46 So 22.06.2008 | | Autor: | marc62 |
DIe Ableitung würde dann so aussehen:
[mm] {R*\omega*cos(\omega*t)+v \choose \ R*\omega*sin(\omega*t)}
[/mm]
und der Betrag ....
[mm] R*\omega+v
[/mm]
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Hallo!
Zunächst einmal kannst du vorhandene Beiträge auch im Nachhinein noch editieren, denn so hast du nun drei Fragen gestellt, obwohl es mehr oder weniger nur eine ist...
Also, bis zur Berechnung des Betrags sieht es nun gut aus.
Du solltest jetzt schonmal wie oben besprochen [mm] \omega=1 [/mm] einsetzen. Ebenso solltest du v ersetzen, das kannst du doch berechnen, wenn du R hast, und eine Umdrehung [mm] 2\pi [/mm] dauern soll.
Für den Betrag gilt doch allgemein sowas wie [mm] $|\vec x|=\wurzel{x_1^2+x_2^2}$. [/mm] Denk dran, daß der [mm] x_1 [/mm] -term eine Summe ist, und du zunächst die 1. Bin. Formel anwenden mußt. Also, so ganz einfach wird der Ausdruck nicht, es wird wohl bei einem Wurzelterm bleiben,
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