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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:38 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Tobus |
| Aufgabe | Gegeben ist der Punkt P mit Ortsvektor [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 2}. [/mm] In welche Punkte geht P bei folgenden Abbildungen über:
a) Spiegelung an der Ebene y=1
b) Spiegelung an der Ebene x-2y+z=0
c) 120 Grad Drehung um die z-Achse
Geben sie jeweils die Koordinaten des Bildpunktes an |
Hallo,
a), b)
ich habe hier leider so meine Probleme, da ich inzwischen schon wieder vergessen habe, wie ich einen Vektor spiegeln kann.
c)
hier ist mir spontan die Drehmatrix eingefallen, also:
[mm] \pmat{ cos(l) & -sin(l) & 0 \\ sin(l) & cos(l) & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] * [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 2} [/mm] wobei l=120 Grad = [mm] \bruch{2}{3} [/mm] * [mm] \pi
[/mm]
Stimmt dieser Ansatz schonmal ?
Edit: Als resultierenden Vektor bekomme ich gerundet [mm] \vektor{2 \\ -0,9 \\ 2}. [/mm] Warum stimmt das nicht ?
DANKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:28 Mi 05.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Zu a und b
Bestimme mal jeweils folgende "Hilfsgerade"
[mm] g:\vec{x}=\vektor{2\\-1\\2}+\lambda*\vec{n_{E}}
[/mm]
[mm] \vec{n_{E}} [/mm] ist der Normalenvektor der Spiegelebene
Ich rechen dir mal Fall b etwas ausführlicher vor
Hier ist [mm] \vec{n_{E}}=\vektor{1\\-2\\1}
[/mm]
Also ist hier g: [mm] \vec{x}=\vektor{2\\-1\\2}+\lambda*\vektor{1\\-2\\1}
[/mm]
Und von dieser Geraden bestimmst du das [mm] \lambda, [/mm] das dir den Schnittpunkt mit der Ebenen geben würde.
Also setze mal g in E ein, und bestimme damit [mm] \lambda.
[/mm]
Hier also:
[mm] 1(2+\lambda)-2(-1-2\lambda)+1(2+\lambda)=0
[/mm]
[mm] \gdw 6+6\lambda=0
[/mm]
[mm] \gdw \lambda=-1
[/mm]
Hast du diesen Wert für [mm] \lambda [/mm] , verdoppele diesem mal, da du von P aus "zweimal die Strecke P-Ebene" gehen musst.
Also bestimmst du den Spiegelpunkt Q
[mm] \vec{q}=\vektor{2\\-1\\2}+\red{2}*\lambda*\vektor{1\\-2\\1}
[/mm]
hier:
[mm] \vec{q}=\vektor{2\\-1\\2}-2*\vektor{1\\-2\\1}
[/mm]
[mm] =\vektor{0\\3\\0}
[/mm]
(Sofern ich richtig gerechnet habe)
Marius
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Tobus |
ahh ok, jetzt weiß ichs wieder !!
edit:
was mir noch nicht ganz klar ist, warum ich die strecke 2 mal gehen muss ? könntest du mir da nochmals helfen ?
DANKE
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 Do 06.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Mit [mm] \vec{p}+\lambda*\vec{n_{E}} [/mm] "triffst" du den Schnittpunkt F der Gerade mit der Ebene.
Der Spiegelpunkt liegt aber auf der anderen Seite der Ebene und zwar genausoweit von dieser entfernt, wie der Ursprungspunkt.
[mm] \lambda*\vec{n_{E}} [/mm] ist eben genau der "Abstandsvektor" Gerade-Ebene, also [mm] \overrightarrow{PF}
[/mm]
Und der Vektor [mm] \overrightarrow{P'F} [/mm] muss halt genau der Gegenvektor zu [mm] \overrightarrow{PF} [/mm] sein, also müsstest du, um p' zu bekommen, folgendes berechnen.
[mm] \vec{p}+\overrightarrow{PF}+\overrightarrow{FP'}
[/mm]
[mm] =\vec{p}+\overrightarrow{PF}-\overrightarrow{P'F}
[/mm]
[mm] =\vec{p}+\overrightarrow{PF}+\overrightarrow{PF}
[/mm]
[mm] =\vec{p}+2*\overrightarrow{PF}
[/mm]
[mm] =\vec{p}+2*(\lambda*\vec{n_{e}})
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:23 Fr 07.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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