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Forum "Vektoren" - Vektor in Parameterform
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Vektor in Parameterform: Welche Bedingung?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:08 Mi 18.04.2012
Autor: PhysikGnom

Aufgabe
a)
Gegeben seien Vektoren [mm] \overrightarrow{a} [/mm] = [mm] (a_{1}, a_{2}) [/mm] und [mm] \overrightarrow{b} [/mm] = [mm] (b_{1}, b_{2}) [/mm] in einem zweidimendionalen kartesischen Koordinatensystem. Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit sich jeder beliebige Vektor [mm] \overrightarrow{v} [/mm] = [mm] (v_{1}, v_{2}) [/mm] in der Form [mm] \overrightarrow{v} [/mm] = [mm] \lambda \overrightarrow{a} [/mm] + [mm] \mu \overrightarrow{b} [/mm] darstellen lässt? Bestimmen Sie einen Ausdruck für [mm] \lambda [/mm] und für [mm] \mu. [/mm] Berechnen Sie [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] speziell für den Fall [mm] \overrightarrow{v} [/mm] = (2,-1) , [mm] \overrightarrow{a} [/mm] = (2,1) und [mm] \overrightarrow{b} [/mm] = (1,-1) und machen Sie dazu auch eine Zeichnung.

b)
Gegeben seien die Vektoren [mm] \overrightarrow{a} [/mm] = (1,1,0) und [mm] \overrightarrow{b} [/mm] = (3,-4,0). Bestimmen Sie alle Vektoren [mm] \overrightarrow{x} [/mm] , die zu beiden Vektoren [mm] \overrightarrow{a} [/mm] und [mm] \overrightarrow{b} [/mm] orthogonal sind.(mit Skalarprodukt lösen)

Hallo !

Also erstmal a) :
Eine Bedingung die erfüllt sein muss ist das [mm] \overrightarrow{a} [/mm] und [mm] \overrightarrow{b} [/mm] keine Nullvektoren sind, ist ja klar. Eine andere Bedingung muss sein das die Vektoren kolinear sein sollen oder? Also auf einer Geraden liegen müssen. D.h. wenn ich z.b. einen Vektor hab, könnte ich ihn in zwei andere Vektoren aufspalten die in einer Linie liegen und dann jeweils die beiden Parameter lambda und mu bestimmen? Wie ich aber einen Ausdruck dafür hin bekommen, dazu fällt mir nix ein hm. Oder könnte man das irgendwie mit einem LGS machen?

Zu b) kann ich ja später dann was schreiben :)

Gruß !

        
Bezug
Vektor in Parameterform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:29 Mi 18.04.2012
Autor: Kroni

Hallo,

>  
> Also erstmal a) :
>  Eine Bedingung die erfüllt sein muss ist das
> [mm]\overrightarrow{a}[/mm] und [mm]\overrightarrow{b}[/mm] keine
> Nullvektoren sind, ist ja klar.

Das stimmt.


> Eine andere Bedingung muss
> sein das die Vektoren kolinear sein sollen oder? Also auf
> einer Geraden liegen müssen. D.h. wenn ich z.b. einen
> Vektor hab, könnte ich ihn in zwei andere Vektoren
> aufspalten die in einer Linie liegen und dann jeweils die
> beiden Parameter lambda und mu bestimmen?

Das verstehe ich nicht. Zeichne dir die Situation mal in 2D auf.
Dann wirst du sehen, ob deine Aussage stimmt oder nicht.

Nehme z.B. mal die Vektoren [mm] $\vec{a}=(1,0)^T$ [/mm] und [mm] $\vec{a}=(2,0)^T$, [/mm] die ja dann 'kolinear' sind. Dann versuche mal mit denen, den Vektor [mm] $\vec{b}=(0,2)^T$ [/mm] zu generieren. Das wird nicht gehen.

Wenn man sich das ganze graphisch in der Ebene veranschaulicht, wird man die Bedingung fuer die beiden Vektoren dann sehen.

Ansonsten aber besteht ja immer die Moeglichkeit, sich einen 'beliebigen', allgemeinen Vektor [mm] $\vec{v}$ [/mm] vorzugeben und ebenfalls zwei 'allgemeine' Vektoren [mm] $\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$. [/mm] Dann setzt man die Gleichung an, die man loesen will und kann das dann als LGS schreiben, welches unter bestimmten  Bedingungen [wo dann auch die Einschraenkungen fuer die Vektoren abfallen muessen] bestimmt werden kann. Das liefert dann auch die Werte fuer [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $\mu$. [/mm]

LG

Kroni

>Wie ich aber

> einen Ausdruck dafür hin bekommen, dazu fällt mir nix ein
> hm. Oder könnte man das irgendwie mit einem LGS machen?
>
> Zu b) kann ich ja später dann was schreiben :)
>  
> Gruß !


Bezug
                
Bezug
Vektor in Parameterform: Ah !
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:06 Do 19.04.2012
Autor: PhysikGnom

Ah ok also wie man lambda und mu berechnet mit den gegeben Vektoren v = (2, -1) usw. weiß ich jetzt. Lambda = 1/3 und mu = 4/3 . Wie kann ich aber nun einen Ausdruck dafür finden? Reicht es wenn ich einfach ein LGS angebe und dann jeweils die Gleichungen für lamda und mu?(ohne Zahlen natürlich) Also so:
Die Ausdrücke sind:

[mm] \bruch{v_{1}-b_{1}\mu}{a_{2}} [/mm] = [mm] \lambda [/mm]
und:
[mm] \bruch{v_{2}-a_{2}\lambda}{b_{2}} [/mm] = [mm] \mu [/mm]

Dann mal was zu b)

Das lässt sich auch mit einem LGS lösen oder:

Alle die zu Vektor a orthogonal sind:

[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] * [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] = 0

Dann hätte ich das LGS:

[mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] = 0

Alle die zu Vektor b orthogonal sind:

[mm] \vektor{3 \\ -4 \\ 0} [/mm] * [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] = 0

Mit dem LGS:

[mm] 3x_1 [/mm] - [mm] 4*x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 0

Und jetzt halt nach den jeweiligen Auflösen, ist das so richtig?

Danke für die Antwort und Gruß !






Bezug
                        
Bezug
Vektor in Parameterform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:27 Do 19.04.2012
Autor: MathePower

Hallo PhysikGnom,

> Ah ok also wie man lambda und mu berechnet mit den gegeben
> Vektoren v = (2, -1) usw. weiß ich jetzt. Lambda = 1/3 und
> mu = 4/3 . Wie kann ich aber nun einen Ausdruck dafür
> finden? Reicht es wenn ich einfach ein LGS angebe und dann
> jeweils die Gleichungen für lamda und mu?(ohne Zahlen
> natürlich) Also so:
>  Die Ausdrücke sind:
>  
> [mm]\bruch{v_{1}-b_{1}\mu}{a_{2}}[/mm] = [mm]\lambda[/mm]
>  und:
>  [mm]\bruch{v_{2}-a_{2}\lambda}{b_{2}}[/mm] = [mm]\mu[/mm]

>


Der  Ausdruck für [mm]\lambda[/mm] darf nicht  von [mm]\mu[/mm] abhängen umd umgekehrt.

  

> Dann mal was zu b)
>  
> Das lässt sich auch mit einem LGS lösen oder:
>  
> Alle die zu Vektor a orthogonal sind:
>  
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] * [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm] = 0
>  
> Dann hätte ich das LGS:
>  
> [mm]x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] = 0
>  
> Alle die zu Vektor b orthogonal sind:
>  
> [mm]\vektor{3 \\ -4 \\ 0}[/mm] * [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3}[/mm] = 0
>  
> Mit dem LGS:
>  
> [mm][mm] 3x_1 [/mm] - [mm]4*x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] = 0
>  


Das muss doch so lauten:

[mm]3x_1 - 4*x_2 + \red{0}*x_3 = 0[/mm]


> Und jetzt halt nach den jeweiligen Auflösen, ist das so
> richtig?
>  


Jetzt  hast Du das LGS

[mm]x_1 + x_2 = 0[/mm]
[mm]3x_1 -4*x_2+0*x_{3} = 0[/mm]

Aus diesen beiden Gleichungen bestimmst Du nun [mm]x_{1}, \ x_{2}, \ x_{3}[/mm].


> Danke für die Antwort und Gruß !
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Vektor in Parameterform: hm
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:05 Do 19.04.2012
Autor: PhysikGnom

Wegen a):

Die Gleichungen dürfen nicht wieder vom anderen abhängen hm, ok dann wird es wohl gehen wenn ich einfach die eine in die andere einsetze oder?

Also so:

[mm] \bruch{v_1-b_1(\bruch{v_2-a_2\lambda}{b_2})}{a_2} [/mm] = [mm] \lambda [/mm]

Nach ausmultiplizieren und umstellen hab ich dann:

[mm] \bruch{v_1v_2-b_1v_2}{a^{2}_{2}+v_1a_2-b_1a_2} [/mm] = [mm] \lambda [/mm]

Für [mm] \mu [/mm] würd ich das dann eben analog machen.

Stimmt das? :)

Gruß

Bezug
                                        
Bezug
Vektor in Parameterform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:52 Do 19.04.2012
Autor: MathePower

Hallo PhysikGnom,

> Wegen a):
>  
> Die Gleichungen dürfen nicht wieder vom anderen abhängen
> hm, ok dann wird es wohl gehen wenn ich einfach die eine in
> die andere einsetze oder?
>  
> Also so:
>  
> [mm]\bruch{v_1-b_1(\bruch{v_2-a_2\lambda}{b_2})}{a_2}[/mm] =
> [mm]\lambda[/mm]
>  
> Nach ausmultiplizieren und umstellen hab ich dann:
>  
> [mm]\bruch{v_1v_2-b_1v_2}{a^{2}_{2}+v_1a_2-b_1a_2}[/mm] = [mm]\lambda[/mm]
>  
> Für [mm]\mu[/mm] würd ich das dann eben analog machen.
>  
> Stimmt das? :)
>  


Die Idee ist richtig, die Ausführung leider nicht.


> Gruß


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Vektor in Parameterform: Hoffe das stimmt.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:43 Do 19.04.2012
Autor: PhysikGnom

Hm ok ich hätte den Bruch nur mit dem [mm] b_1 [/mm] multiplizieren sollen, stimmt^^ oh man. Ok dann hab ich das raus:

[mm] \bruch{v_1b_1}{1+b_1-a_2b_1} [/mm] = [mm] \lambda [/mm]

Gruß

Bezug
                                                        
Bezug
Vektor in Parameterform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:55 Do 19.04.2012
Autor: MathePower

Hallo PhysikGnom,

> Hm ok ich hätte den Bruch nur mit dem [mm]b_1[/mm] multiplizieren
> sollen, stimmt^^ oh man. Ok dann hab ich das raus:
>  
> [mm]\bruch{v_1b_1}{1+b_1-a_2b_1}[/mm] = [mm]\lambda[/mm]
>  


Das stimmt leider auch nicht.

Poste doch die Rechenschritte von

[mm] \bruch{v_1-b_1(\bruch{v_2-a_2\lambda}{b_2})}{a_2} $ = $ \lambda [/mm]

bis zur Auflösung [mm]\lambda = \ ....[/mm]

Ich stelle gerade fest, daß die  Gleichung so lauten muss:

[mm] \bruch{v_1-b_1(\bruch{v_2-a_2\lambda}{b_2})}{a_{\red{1}}} = \lambda [/mm]


> Gruß


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
Vektor in Parameterform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:21 Do 19.04.2012
Autor: PhysikGnom

ok nächster Versuch :

1. [mm] \bruch{v_1-b_1(\bruch{v_2-a_2\lambda}{b_2})}{a_1} [/mm] = [mm] \lambda [/mm]  mal [mm] a_1 [/mm]

[mm] (b_1 [/mm] in den Bruch reinmultipliziert)

2. [mm] v_1-(\bruch{v_2b_1-a_2b_1\lambda}{b_2}) [/mm] = [mm] \lambda a_1 [/mm]  mal [mm] b_2 [/mm]

3. [mm] v_1b_2-b_1v_2-a_2b_1\lambda [/mm] = [mm] \lambda a_1b_2 [/mm]  plus [mm] a_2b_1\lambda [/mm]

4. [mm] v_1b_2-b_1v_2 [/mm] = [mm] \lambda a_1b_2 [/mm] + [mm] a_2b_1\lambda [/mm]

(lambda rechts ausklammern)

5. [mm] v_1b_2-b_1v_2 [/mm] = [mm] \lambda (a_1b_2+a_2b_1) [/mm] geteilt durch [mm] (a_1b_2+a_2b_1) [/mm]

6. [mm] \bruch{v_1b_2-b_1v_2}{a_1b_2+a_2b_1} [/mm] = [mm] \lambda [/mm]

So ich denk das müsste stimmen, könnte mir nicht vorstellen irgend einen Fehler gemacht zu haben, ansonsten: Schande über mich.

Gruß

Bezug
                                                                        
Bezug
Vektor in Parameterform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:09 Do 19.04.2012
Autor: MathePower

Hallo PhyikGnom,

> ok nächster Versuch :
>  
> 1. [mm]\bruch{v_1-b_1(\bruch{v_2-a_2\lambda}{b_2})}{a_1}[/mm] =
> [mm]\lambda[/mm]  mal [mm]a_1[/mm]
>  
> [mm](b_1[/mm] in den Bruch reinmultipliziert)
>  
> 2. [mm]v_1-(\bruch{v_2b_1-a_2b_1\lambda}{b_2})[/mm] = [mm]\lambda a_1[/mm]  
> mal [mm]b_2[/mm]
>  
> 3. [mm]v_1b_2-b_1v_2-a_2b_1\lambda[/mm] = [mm]\lambda a_1b_2[/mm]  plus
> [mm]a_2b_1\lambda[/mm]


Hier ist ein Vorzeichenfehler passiert:

[mm]v_1b_2-b_1v_2\blue{+}a_2b_1\lambda = \lambda a_1b_2[/mm]

>  
> 4. [mm]v_1b_2-b_1v_2[/mm] = [mm]\lambda a_1b_2[/mm] + [mm]a_2b_1\lambda[/mm]
>  
> (lambda rechts ausklammern)
>  
> 5. [mm]v_1b_2-b_1v_2[/mm] = [mm]\lambda (a_1b_2+a_2b_1)[/mm] geteilt durch
> [mm](a_1b_2+a_2b_1)[/mm]
>  
> 6. [mm]\bruch{v_1b_2-b_1v_2}{a_1b_2+a_2b_1}[/mm] = [mm]\lambda[/mm]
>  


Hier muss es dann lauten:

[mm]\bruch{v_1b_2-b_1v_2}{a_1b_2\blue{-}a_2b_1} = \lambda[/mm]


> So ich denk das müsste stimmen, könnte mir nicht
> vorstellen irgend einen Fehler gemacht zu haben, ansonsten:
> Schande über mich.

>

> Gruß


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                
Bezug
Vektor in Parameterform: Danke für die Hilfe :)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:18 Do 19.04.2012
Autor: PhysikGnom

Ah ok, ja stimmt das war ja [mm] -b_1 [/mm] , is ja geschenkt :D (spaß).

Ok damit ist die Aufgabe gelöst. Dank an Kroni(der als erstes geschrieben hat) und natürlich großen Dank an dich MathePower das du mir geduldig geholfen hast, hat mich gefreut :)
Dann wünsch ich noch einen schönen Abend.

Lg
:)

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