Vektor Beziehung(en) < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:37 Mi 24.01.2007 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Welche Vektoren a, b [mm] \in R^n [/mm] genügen der Beziehung:
| a+b [mm] |^2 [/mm] = [mm] |a|^2 [/mm] + [mm] |b|^2 [/mm] = [mm] |a-b|^2
[/mm]
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moin,
das einzige, was ich erkennen kann, ist, dass wenn a oder b gleich [mm] \vektor{0} [/mm] ist, dann ist das obige eine wahre aussage.
kann ich das ganze systematisch prüfen? möglichst einfach!
beispiel:
a= [mm] \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
b= [mm] \vektor{2 \\ 2}
[/mm]
| [mm] \vektor{3 \\ 3} |^2 [/mm] = | [mm] \vektor{1 \\ 1}|^2 [/mm] + |vektor{2 [mm] \\ 2}|^2 [/mm] = | vektor{-1 [mm] \\ -1}|^2
[/mm]
bzw.
[mm] \wurzel{3^2+3^2}^2 [/mm] = [mm] \wurzel{1^2+1^2}^2 [/mm] + [mm] \wurzel{2^2+2^2}^2 [/mm] = [mm] \wurzel{(-1)^2 +(-1)^2}^2
[/mm]
18 = 2 = 8 was natürlich nicht hinkommt... dennoch weiss ich nicht, wie ---jetzt --- weiter??
gruß
wolfgang
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 Mi 24.01.2007 | | Autor: | riwe |
> Welche Vektoren a, b [mm]\in R^n[/mm] genügen der Beziehung:
>
> | a+b [mm]|^2[/mm] = [mm]|a|^2[/mm] + [mm]|b|^2[/mm] = [mm]|a-b|^2[/mm]
>
da deine (be)schreibweise sehr eigenwillig ist, meine frage:
stimmt das so, oder soll es heißen:
[mm] |(\vec{a}+\vec{b})²|=|\vec{a}²|+|\vec{b}²|=|(\vec{a}-\vec{b})²|
[/mm]
wobei die betragsstricherl allerdings ganz und gar überflüssig sind.
dann würde ich an orthogonale vektoren denken.
sonst fällt mir auf die schnelle auch nur [mm] \vec{a} \vee \vec{b}=\vec{o} [/mm] ein
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> > Welche Vektoren a, b [mm]\in R^n[/mm] genügen der Beziehung:
> >
> > | a+b [mm]|^2[/mm] = [mm]|a|^2[/mm] + [mm]|b|^2[/mm] = [mm]|a-b|^2[/mm]
> >
>
>
>
> da deine (be)schreibweise sehr eigenwillig ist, meine
> frage:
> stimmt das so, oder soll es heißen:
>
> [mm]|(\vec{a}+\vec{b})²|=|\vec{a}²|+|\vec{b}²|=|(\vec{a}-\vec{b})²|[/mm]
>
> wobei die betragsstricherl allerdings ganz und gar
> überflüssig sind.
Hallo,
die Schreibweise oben finde ich nicht eigenwillig, sofern (!) es im Rahmen des größeren Zusammenhanges klar ist, daß es um den [mm] \IR^n [/mm] mit dem kanonischen Skalarprodukt geht.
Davon gehe ich hier aus;
ich bin mir also sicher, daß das gemeint ist, was Du hier vermutest.
Du, Wolfgang, kommst zum Ziel, wenn Du Dir klarmachst, was hier mit |x| gemeint ist: [mm] \wurzel{x*x}, [/mm] wobei "*" das kanonische Skalarprodukt ist.
Die Gleichungen oben teilen Dir mit
(a +b)*(a + b) =a*a + b*b und
(a - b)*(a - b) =a*a + b*b,
nach dem Auflösen der Klammern kannst Du Deine Schlüsse ziehen.
Bedenke dabei, was es bedeutet, wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren 0 ergibt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:00 Do 25.01.2007 | | Autor: | riwe |
eine frage: schreibt man das nicht so " [mm] \parallel [/mm] " statt "| "?
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> eine frage: schreibt man das nicht so " [mm]\parallel[/mm] " statt
> "| "?
Hallo,
ich kenne beide Schreibweisen.
Möglicherweise hängt es etwas davon ab, auf welchem Niveau man lineare Algebra betreibt: eher "Induzierte Norm" oder "Länge des Vektors".
Es hat - wie gesagt - |a| für mich nichts Befremdliches an sich.
In meiner Oberstufenzeit wurden die Vektoren, sofern sie mit lateinischen Buchstaben benannt waren, allerdings der Deutlichkeit halber [mm] \vec{a} [/mm] geschrieben. Der Betrag, die Länge, sah dann so aus: [mm] |\vec{a}|.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:18 Do 25.01.2007 | | Autor: | riwe |
> > eine frage: schreibt man das nicht so " [mm]\parallel[/mm] " statt
> > "| "?
>
> Hallo,
>
> ich kenne beide Schreibweisen.
>
> Möglicherweise hängt es etwas davon ab, auf welchem Niveau
> man lineare Algebra betreibt: eher "Induzierte Norm" oder
> "Länge des Vektors".
>
> Es hat - wie gesagt - |a| für mich nichts Befremdliches an
> sich.
>
> In meiner Oberstufenzeit wurden die Vektoren, sofern sie
> mit lateinischen Buchstaben benannt waren, allerdings der
> Deutlichkeit halber [mm]\vec{a}[/mm] geschrieben. Der Betrag, die
> Länge, sah dann so aus: [mm]|\vec{a}|.[/mm]
>
> Gruß v. Angela
herzlichen dank
werner
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