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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:47 Fr 22.11.2013 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | Für welchen Wert von "a" ist das innere Produkt folgender Vektoren gleich 0. Für welches "a" stehen die beiden Vektoren normal aufeinander?
[mm] \vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ 2^a \\ 3^a \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \vec{w}\begin{pmatrix} 2^a^-^1 \\ 2 \\ -3^-^1 \end{pmatrix} [/mm] |
Hallo,
gesucht ist also "a".
Ichhabe zunächst das Skalarprodukt angeschrieben:
[mm] 2*2^a^-^1+2^a*2+3^a*(-3^-^1)=0
[/mm]
[mm] 2*2^a*2^-^1+2^a*2+3^a*(-3^-^1)=0
[/mm]
[mm] 2*2^a*2^-^1+2^a*2=-3^a*3^-^1
[/mm]
[mm] 2^a*(4-2^-^1)=-3^a*3^-^1
[/mm]
[mm] 2^a*\bruch{7}{2}=-3^a*\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] \bruch{2^a}{-3^a}=\bruch{\bruch{1}{3}*2}{7}=(\bruch{2}{-3})^a=\bruch{2}{21}=a*lg(\bruch{2}{-3})=lg(\bruch{2}{21}) [/mm] …
Und ab hier denke ich ist irgendwas falsch, da ja der Logarithmus nicht negativ sein kann.
Oder war mein Ansatz komplett falsch?
Besten Dank und schöne Grüße…
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Hallo,
> Für welchen Wert von "a" ist das innere Produkt folgender
> Vektoren gleich 0. Für welches "a" stehen die beiden
> Vektoren normal aufeinander?
>
> [mm]\vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ 2^a \\ 3^a \end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]\vec{w}\begin{pmatrix} 2^a^-^1 \\ 2 \\ -3^-^1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Hallo,
>
> gesucht ist also "a".
>
> Ichhabe zunächst das Skalarprodukt angeschrieben:
>
> [mm]2*2^a^-^1+2^a*2+3^a*(-3^-^1)=0[/mm]
>
> [mm]2*2^a*2^-^1+2^a*2+3^a*(-3^-^1)=0[/mm]
>
> [mm]2*2^a*2^-^1+2^a*2=-3^a*3^-^1[/mm]
Hier ist dir ein Vorzeichenfehler unterlaufen. Beache außerdem [mm] 2*2^{-1}=1, [/mm] sowie die entsprechenden Vereinfachungsmöglichkeiten bei den anderen Summanden.
> [mm]2^a*(4-2^-^1)=-3^a*3^-^1[/mm]
Ab hier wird es dann so falsch (wo kommt die 4 her?), dass es keinen Sinn macht, das weiter zu besprechen.
Das ganze führt auf eine recht simple Exponentialgleichung, die allerdings eine irrationale Lösung besitzt.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Fr 22.11.2013 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke für die Antwort.
Dann müsste [mm] 2*2^a-2^-^1+2^a*2=-3^a*(-3^-^1) [/mm] richtig sein?
Wie vereinfache ich das aber nun richtig?
Denn [mm] 2*2^a-1+2^a*2=-3^a*(-3^-^1) [/mm] hilft ja auch nicht wirklich weiter, bzw. dürfte auch nicht wirklich richtig sein…?
Besten Dank
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Hallo,
> Hallo,
>
> danke für die Antwort.
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> Dann müsste [mm]2*2^a-2^-^1+2^a*2=-3^a*(-3^-^1)[/mm] richtig sein?
Nein, was um alles in der Welt rechnest du denn da?
Du hast noch nicht einmal meinen Hinweis mit der Vereinfachung des ersten Summanden umgesetzt. Schau dir mal am besten zunächst die ![[]](/images/popup.gif) Potenzgesetze noch mal an, und dann entscheide mal selbst, was hier alles falsch ist. Die rechte Seite stimmt jetzt, sie ist nur noch denkabr umständlich geschrieben.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Fr 22.11.2013 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
da habe ich das Vorzeichen verwechselt.
Es sollte dann doch sein:
[mm] 2*2^a*2*2^a=-3^a*(-3^-^1) [/mm]
[mm] 4*2^a=3^a^-^1 [/mm] (Da ja Minus mal Minus = Plus?)
[mm] 4*2^a=3^a*3^-^1
[/mm]
Wird's so etwas "richtiger"?
Besten Dank
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Hallo drahmas,
> Hallo,
>
> da habe ich das Vorzeichen verwechselt.
>
> Es sollte dann doch sein:
>
> [mm]2*2^a*2*2^a=-3^a*(-3^-^1)[/mm]
Wo kommt das Multiplikationszeichen in der Mitte plötzlich her, wo ist die [mm] 2^{-1} [/mm] geblieben?
> Wird's so etwas "richtiger"?
Nein, keinesfalls. Arbeite sorgfältiger!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Fr 22.11.2013 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke noch mal für die Antwort.
Dann muss ich leider sagen, dass ich nicht weiß wie ich das richtig vereinfache.
Wenn ich habe [mm] 2*2^a*2^-^1+2^a*2+3^a*(-3^-^1)=0 [/mm] bzw. [mm] 2*2^a*2^-^1+2^a*2=-3^a*(-3^-^1)
[/mm]
Und 2*2^-^1 = 1 ergibt das doch für [mm] 2*2^a*2^-^1+2^a*2 [/mm] … = [mm] 2*2^a*1+2^a*2…, [/mm] oder?
Oder ist 2 [mm] (=2^1) [/mm] dann [mm] 2^1*2^a*2^-^1… [/mm] = [mm] 2^1^+^a^-^1 [/mm] = [mm] 2^a?
[/mm]
Mich irritiert der Faktor 2 vor der ersten Potenz.
Besten Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:13 Fr 22.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo,
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> danke noch mal für die Antwort.
> Dann muss ich leider sagen, dass ich nicht weiß wie ich
> das richtig vereinfache.
>
> Wenn ich habe [mm]2*2^a*2^-^1+2^a*2+3^a*(-3^-^1)=0[/mm] bzw.
> [mm]2*2^a*2^-^1+2^a*2=-3^a*(-3^-^1)[/mm]
>
> Und 2*2^-^1 = 1 ergibt das doch für [mm]2*2^a*2^-^1+2^a*2[/mm] …
> = [mm]2*2^a*1+2^a*2…,[/mm] oder?
>
> Oder ist 2 [mm](=2^1)[/mm] dann [mm]2^1*2^a*2^-^1…[/mm] = [mm]2^1^+^a^-^1[/mm] =
> [mm]2^a?[/mm]
>
> Mich irritiert der Faktor 2 vor der ersten Potenz.
Der ist dann doch weg:
Du musst esentlich kleinschrittiger uns damit sorgfältiger arbeiten.
$ [mm] 2\cdot2^{a}\cdot2^{-1}+2^{a}\cdot2+3^{a}\cdot{}(-3)^{-1}=0 [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow 2\cdot2^{a}\cdot\frac{1}{2}+2^{a}\cdot2-3^{a}\cdot\frac{1}{3}=0 [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow \overbrace{2\cdot\frac{1}{2}}^{=1}\cdot2^{a}+2^{a}\cdot2-3^{a}\cdot\frac{1}{3}=0 [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow 2^{a}+2^{a}\cdot2-3^{a}\cdot\frac{1}{3}=0 [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow 3\cdot2^{a}-3^{a}\cdot\frac{1}{3}=0 [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow 3\cdot2^{a}=3^{a}\cdot\frac{1}{3} [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow 9\cdot2^{a}=3^{a} [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow 9=\frac{3^{a}}{2^{a}} [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow 9=\left(\frac{3}{2}\right)^{a} [/mm] $
Versuche mal, jeden dieser Schritte sauber nachzuvollziehen.
>
> Besten Dank
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Fr 22.11.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich mach das jetzt mal Schritt für Schritt.
Dein Ergebnis ist ja
[mm] 2*2^{\alpha-1}+2^{\alpha}*2-3^{\alpha}*3^{-1}=0
[/mm]
Potenzgesetz anwenden, [mm] a^n*a^m=a^{n+m} [/mm] ergibt
[mm] 2^{\alpha}+2^{\alpha+1}=3^{\alpha-1}
[/mm]
Jetzt [mm] 2^\alpha [/mm] auf der Linkenseite ausklammern und durch den Faktor vor [mm] 2^{\alpha} [/mm] dividieren.
Jetzt must Du weiter rechnen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:31 Fr 22.11.2013 | | Autor: | drahmas |
Okay, danke euch! 
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