Varianz einer Summe < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gegeben sind die Zufallsvariablen X~G(1;...;n) und Y~N(0;25). Ich suche die Varianz von [mm] \summe_{i=1}^X(Y). [/mm] |
Wie groß ist die Varianz dieser Summe? Mit G(1;...;n) meine ich die diskrete Gleichverteilung über der Menge {1;...;n}.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 Sa 31.03.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Falk,
spricht etwas dagegen, statt [mm] $\sum_{i=1}^X [/mm] Y$ zu schreiben $XY$?
Kennst du die Formel [mm] $\mbox{Var}[U]= \mbox{Var}[\mbox{E}[U\mid V]]+\mbox{E}[\mbox{Var}[U\mid [/mm] V]]$
fuer zwei Zufallsvariablen $U$ und $V$? Ich meine, damit kannst du die
Aufgabe loesen.
Was mich etwas irritiert ist der Umstand, dass du Aufgabe im Rahmen des
LK Gymnasiums gestellt bekommen hast...
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Hallo Luis,
> spricht etwas dagegen, statt [mm]\sum_{i=1}^X Y[/mm] zu schreiben
> [mm]XY[/mm]?
Dass beides identisch ist, habe ich bisher lediglich vermutet, aber nicht gewusst.
> Kennst du die Formel [mm]\mbox{Var}[U]= \mbox{Var}[\mbox{E}[U\mid V]]+\mbox{E}[\mbox{Var}[U\mid V]][/mm]
Diese Formel kenne ich nicht und kann sie leider auch nicht interpretieren. E(U|V) und VAR(U|V) erinnern mich an bedingte Wahrscheinlichkeiten. Aber in diesem Zusammenhang ergibt dies für mich keinen Sinn.
> Was mich etwas irritiert ist der Umstand, dass du Aufgabe
> im Rahmen des
> LK Gymnasiums gestellt bekommen hast...
Die Frage entstammt meiner Freizeit. Ich modelliere gerade Reaktionszeiten bei der visuellen Suche.
Ich würde mich sehr freuen, wenn Du mir die Formel erklären oder sagen könntest, wo ich nachlesen kann.
Viele Grüße,
Falk
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:15 Sa 31.03.2007 | | Autor: | luis52 |
> > Kennst du die Formel [mm]\mbox{Var}[U]= \mbox{Var}[\mbox{E}[U\mid V]]+\mbox{E}[\mbox{Var}[U\mid V]][/mm]
>
> Diese Formel kenne ich nicht und kann sie leider auch nicht
> interpretieren. E(U|V) und VAR(U|V) erinnern mich an
> bedingte Wahrscheinlichkeiten.
Genau, der Begriff der bedingten Verteilung ist der theoretische Hintergrund dieser Formel. Unter den Stichwoertern "bedingte Varianz" habe ich beispielsweise
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.hu-berlin.de/~riedle/winter06/blatt11.pdf
ergoogelt. Siehe Aufgabe 11.2(c).
> Aber in diesem Zusammenhang
> ergibt dies für mich keinen Sinn.
>
Doch, das macht insofern Sinn, da du ja zwei Zufallsvariablen $X$ und $XY$ betrachtest. Je nachdem, wie sich $X$ realisiert, hat das Auswirkungen auf $XY$.
Wie sind die einzelnen Summanden zu interpretieren? Betrachte [mm] $\mbox{E}[XY\mid [/mm] X]$. Wenn $X=x$ gegeben ist, so ist [mm] $\mbox{E}[XY\mid X=x]=x\mbox{E}[Y\mid [/mm] X=x]=0$ wegen [mm] $\mbox{E}[Y]=0$. [/mm] Also ist [mm] $\mbox{E}[XY\mid [/mm] X]=0$ und folglich [mm] $\mbox{Var}[\mbox{E}[XY\mid [/mm] X]]=0$. Analog ist [mm] $\mbox{Var}[XY\mid X]=25X^2$ [/mm] und [mm] $\mbox{E}[\mbox{Var}[XY\mid [/mm] X]]= [mm] \mbox{E}[25X^2]=25(2n+1)(n+1)/6$.
[/mm]
hth
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:51 So 01.04.2007 | | Autor: | mathpsycho |
Hallo,
bedingte Verteilungen sind ein interessantes Thema, mit dem ich mich demnächst beschäftigen werde.
Ich habe gerade die folgende Formel gefunden, die für zwei unabhängige Zufallsvariablen X und Y gilt: VAR(X*Y)=VAR(X)*(E(Y))²+VAR(Y)*(E(X))²+VAR(X)*VAR(Y).
Wenn ich diese auf mein Problem anwende erhalte ich [mm] VAR(X*Y)=25²*\bruch{n²+6n+5}{12}.
[/mm]
Trotzdem vielen Dank,
Falk
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Was bedeutet Y~N(0;25)? Normalverteilung?
Ich gehe mal davon aus, dass Y immer den selben Wert hat unabhängig von X. Dann gilt:
$ [mm] \summe_{i=1}^X(Y) [/mm] $= X*Y. Du erhältst damit wegen der Gleichverteilung von X mit jeweils der Wahrscheinlichkeit 1/n die Werte X, 2X, 3X,...nX. Tabellarische Berechnung für die Varianz:
[mm] p_{i} [/mm] ------ [mm] x_{i} [/mm] ----- [mm] p_{i}x_{i}-----p_{i}x_{i}x_{i}
[/mm]
1/n X X/n [mm] X^{2}/n
[/mm]
1/n 2X 2X/n [mm] 4X^{2}/n
[/mm]
1/n 3X 3X/n [mm] 9X^{2}/n
[/mm]
... ... ... ...
1/n nX nX/n [mm] n^{2}X^{2}/n
[/mm]
_________________________________________
[mm] \bruch{n+1}{2}X [/mm] .... [mm] \bruch{(n+1)(2n+1)}{6}X^{2}
[/mm]
Var(...)= [mm] \bruch{(n+1)(2n+1)}{6}X^{2}-(\bruch{n+1}{2}X)^{2}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:32 Mo 02.04.2007 | | Autor: | mathpsycho |
Y ist aber keine Konstante, sondern eine normalverteilte Zufallsgröße mit dem Erwartungswert 0 und der Standardabweichung 25. Dennoch vielen Dank für Ihre Mühe.
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Falls Y immer den selben Wert liefert, also unabhängig von x als Summenobergrenze ist, gilt die Rechnung trotzdem.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:11 Do 05.04.2007 | | Autor: | mathpsycho |
Die Realisierungen [mm] X_1 [/mm] bis [mm] X_i [/mm] sind voneinander unabhängig. Deshalb sind die Summe dieser Realisierungen und I*X unterschiedlich verteilt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 So 15.04.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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