Varianz bei mehrfachem Würfeln < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:50 So 19.02.2012 | | Autor: | MxM |
| Aufgabe | In einem unseriösen Spielcasino wird mit manipulierten Würfeln gespielt. Pro Runde wird mit genau 5 dieser Würfel gleichzeitig gewürfelt, anschließend wird die Augenzahl aller Würfel aufsummiert.
Ein solcher Würfel zeigt die Augenzahlen 1, 2 und 3 jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von (0.06), die Augenzahlen 4 und 5 mit jeweils einer Wahrscheinlichkeit von (0.2) und die Augenzahl 6 mit einer Wahrscheinlichkeit von (0.42).
Wie hoch sind der Erwartungswert und die Varianz der Augensumme? |
Hallo,
den Erwartungswert habe ich raus, das ist 23,4. Was mir fehlt ist die Varianz, die in der Lösung als 11,29 angegeben ist.
Mein Vorgehen war so, dass ich die Varianz der einzelnen Würfe addiert habe. Die Kovarianz müsste ja 0 sein, da die Würfe unabhängig sind.
Die Varianz eines Wurfes habe ich berechnet als
[mm] V(X)=\summe_{i=1}^{n} (x_i [/mm] - [mm] E(X))^2= [/mm] 25,854
mit dem Erwartungswert eines einzelnen Wurfs E(X)=4,68.
Für alle 5 Würfe müsste die Varianz
[mm] V(X_1+X_2+X_2+X_3+X_4)=5*V(X)=5*25,854=129,272 [/mm]
sein, dachte ich zumindest. Die Lösung lautet aber wie erwähnt 11,29?
Schöne Grüße,
MxM
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Hallo,
deine Vorgehensweise ist prinzipiellm schon richtig, da die einzelnen Würfel stochastisch unabhängig sind. Mir kommt nur der Wert
V(X)=25,854
für die Varianz eines Wurfes erstaunlich hoch vor...
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 So 19.02.2012 | | Autor: | MxM |
Hallo,
danke schonmal für diesen Hinweis, es scheinen also mindestens 2 Fehler drin zu sein, da ich Vergessen habe, die Summe der quadrierten Abweichungen durch n zu teilen.
Damit bleibt, mit dem Erwartungswert
[mm] E(X)=\bruch{1}{n}*\summe_{i_1}^{n}x_i*p_i [/mm] = 0,06*1 + 0,06*2 + 0,06*3 + 0,2*4 + 0,2*5 + 0,42*6 = 4,68,
die Varianz für einen Wurd bei
[mm] \sigma^2=\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{6}(x_i-E(X))^2 [/mm] = [mm] (1-4,68)^2 [/mm] + [mm] (2-4,68)^2 [/mm] + [mm] (3-4,68)^2 [/mm] + [mm] (4-4,68)^2 [/mm] + [mm] (5-4,68)^2 [/mm] + [mm] (6-4,68)^2) [/mm] = 4,309
Die Varianz für 5 Würfe wäre damit 5*4,309=21,545 und daher immernoch höher als die Lösung. Wo liegt der zweite Fehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 So 19.02.2012 | | Autor: | vivo |
Hallo,
warum nimmst du bei der Varianzberechnung nicht mit der jeweiligen W.-keit mal?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:52 So 19.02.2012 | | Autor: | MxM |
Ah, alles klar, danke, hatte ja die Summe der quadratischen Abweichungen durch n geteilt, was ja nur bei Stichproben richtig ist (?). Mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten und ihne das 1/n geht es. Danke!
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