Var(X), X ist poissonverteilt < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 Do 05.10.2006 | | Autor: | Schnepfi |
| Aufgabe | | Die Zufallsvariable X sei poissonverteilt mit Parameter [mm] \lambda [/mm]. Berechnen Sie Var(X). Hinweis: Berechnen Sie zunächst E(X(X-1)). |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bin bei dieser Aufgabe davon ausgegangen, dass X und X-1 unanhängig voneinander sind und habe folgendes berechnet: E(X)*E(X-1). Mein Ergebnis ist [mm] \lambda [/mm] * ([mm] \lambda [/mm] -1).
Da gilt E(X(X-1))= E([mm] X^2 [/mm] - E(X), habe ich nach E([mm] X^2 [/mm] aufgelöst: E([mm] X^2 [/mm]) = [mm] \lambda [/mm] * ([mm] \lambda [/mm] -1) + [mm] \lambda [/mm].
Ich habe eingesetz in Var (X)= E([mm] X^2 [/mm] - [mm][E(X)^2] [/mm]
= [mm] \lambda^2 - \lambda + \lambda - \lambda^2 [/mm], das Ergebnis ist 0. Ich weiß, dass [mm]\lambda[/mm] rauskommen muss. Weiß jemand, wo mein Denkfehler ist? Ich habe die Befürchtung, dass der Ansatz falsch ist oder dass meine Berechnung vom Anfang nicht gilt :E(X-1) = [mm](\lambda - 1)[/mm]
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:55 Do 05.10.2006 | | Autor: | luis52 |
Hallo Schnepfi,
du kannst nicht unterstellen, dass $ X $ und $ X-1 $ unabhaengig sind.
Wenn $ X-1 $ beispielweise 0 ist, so ist $ X $ zwangslaeufig 1.
hth
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Do 05.10.2006 | | Autor: | Schnepfi |
Dann gilt also E(X(X-1))=E(X)*E(X-1)+Cov(X,X-1).
Kann mir bitte jmd sagen, ob meine Berechnung E(X-1)= [mm]\lambda-1[/mm] stimmt?
Bei der Berechnung der Cov(X,X-1) hänge ich fest, kann ich wie folgt rechnen oder ist das falsch, bzw gibt es eine 'passendere' Art, die Cov (X,X-1)zu berechnen, um auf E(X(X-1)) zu kommen:
Meine Idee:
E((x-E(X)*((X-1)-E(x-1)))=
E((X- [mm]\lambda[/mm])*((X-1)-([mm]\lambda[/mm]-1)))=
E((X-[mm]\lambda[/mm])*(X-[mm]\lambda[/mm]))=
[mm]E(X^2 -X \lambda- X \lambda +\lambda^2)[/mm]
Geht das mathematisch überhaupt und wie komme ich auf den Wert [mm] E (X^2) [/mm] ???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Do 05.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Dann gilt also E(X(X-1))=E(X)*E(X-1)+Cov(X,X-1).
> Kann mir bitte jmd sagen, ob meine Berechnung E(X-1)=
> [mm]\lambda-1[/mm] stimmt?
Ja, $E(X-1) = E(X) - E(1) = [mm] \lambda [/mm] - 1$.
> Bei der Berechnung der Cov(X,X-1) hänge ich fest, kann ich
> wie folgt rechnen oder ist das falsch, bzw gibt es eine
> 'passendere' Art, die Cov (X,X-1)zu berechnen, um auf
> E(X(X-1)) zu kommen:
> Meine Idee:
> E((x-E(X)*((X-1)-E(x-1)))=
> E((X- [mm]\lambda[/mm])*((X-1)-([mm]\lambda[/mm]-1)))=
> E((X-[mm]\lambda[/mm])*(X-[mm]\lambda[/mm]))=
> [mm]E(X^2 -X \lambda- X \lambda +\lambda^2)[/mm]
>
> Geht das mathematisch überhaupt und wie komme ich auf den
> Wert [mm]E (X^2)[/mm] ???
Ja, so kannst du das ausrechnen, aber das bringt dir nix.
Fang doch mal ganz von vorne an. Es ist [mm]E(X(X-1)) = E(X^2 - X) = E(X^2) - E(X) = E(X^2) - \lambda[/mm]. Also musst du [mm] $E(X^2)$ [/mm] ausrechnen. Aber nun ist $Var(X) = [mm] E(X^2) [/mm] - [mm] (E(X))^2 [/mm] = [mm] E(X^2) [/mm] - [mm] \lambda^2$. [/mm] Kennst du nun die Varianz $Var(X)$, so kannst du damit also [mm] $E(X^2)$ [/mm] und somit schliesslich $E(X(X-1))$ ausrechnen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Do 05.10.2006 | | Autor: | Schnepfi |
Hi Felix,
Mein Ansatz war ebenfalls: Es ist [mm]E(X(X-1)) = E(X^2 - X) = E(X^2) - E(X) = E(X^2) - \lambda[/mm].
> Also musst du [mm]$E(X^2)[/mm] ausrechnen.
[mm]$E(X^2)[/mm] wollte ich ausrechnen über [mm]E(X^2)= E(X(X-1))+E(X)[/mm]. Allerdings fehlt mir immernoch der Wert für E(X(X-1))...
Hätte ich den Wert, kann ich besagtes [mm]$E(X^2)[/mm] ausrechnen und damit [mm] Var (X) = E (X^2) - (E(X))^2 = E (X^2) - \lambda^2 [/mm].
Allerdings habe ich weder den Wert Var(X) noch [mm]$E(X^2)[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:44 Fr 06.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hi Felix,
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> Mein Ansatz war ebenfalls: Es ist [mm]E(X(X-1)) = E(X^2 - X) = E(X^2) - E(X) = E(X^2) - \lambda[/mm].
> > Also musst du [mm]$E(X^2)[/mm] ausrechnen.
> [mm]$E(X^2)[/mm] wollte ich ausrechnen über [mm]E(X^2)= E(X(X-1))+E(X)[/mm].
> Allerdings fehlt mir immernoch der Wert für E(X(X-1))...
> Hätte ich den Wert, kann ich besagtes [mm]$E(X^2)[/mm] ausrechnen
> und damit [mm]Var (X) = E (X^2) - (E(X))^2 = E (X^2) - \lambda^2 [/mm].
> Allerdings habe ich weder den Wert Var(X) noch [mm]$E(X^2)[/mm]
Ah ok, habs kapiert 
Was mit dem Hinweis 'berechnen sie zuerst $E(X(X-1))$' gemeint ist, ist dass du den Erwartungswert richtig ausrechnen sollst, also mit Hilfe der Poisson-Dichte.
Es ist $E(X(X-1)) = [mm] \sum_{k=0}^\infty [/mm] k (k - 1) [mm] \lambda^k/k! e^{-\lambda}$. [/mm] Die Summanden fuer $k = 0$ und $k = 1$ sind $0$, womit dies gleich [mm] $e^{-\lambda} \sum_{k=2}^\infty \frac{k (k - 1)}{k!} \lambda^k [/mm] = [mm] e^{-\lambda} \sum_{k=2}^\infty \frac{\lambda^{k-2} \lambda^2}{(k-2)!}$ [/mm] ist. Kommst du damit weiter?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 Fr 06.10.2006 | | Autor: | Schnepfi |
> Was mit dem Hinweis 'berechnen sie zuerst [mm]E(X(X-1))[/mm]'
> gemeint ist, ist dass du den Erwartungswert richtig
> ausrechnen sollst, also mit Hilfe der Poisson-Dichte.
Genau das 'richtig' war mein Problem, ich bin nicht weitergekommen, weil ich E(X)*E(X-1) ausgerechnet habe und über die Poissondichte auf [mm] \lambda * (1-\lambda) [/mm] gekommen bin... Aber mit dem richtigen Ansatz komme ich dank deiner Hilfe auf [mm] \lambda^2 [/mm] und so auf Var (X) = [mm] \lambda [/mm]
Vielen Dank!!
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