V Pyramiden-/Kegelstumpf < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 Sa 27.01.2007 | | Autor: | kati93 |
| Aufgabe | a) Eine quadratische Pyramide soll durch einen Schnitt parallel zur Grundfläche in eine kleine Pyramide und in einen Pyramidenstumpft zerlegt werden. Bestimme die Höhe [mm] h_1 [/mm] des Pyramidenstumpfes so,dass die beiden entstandenen Teilkörper das gleiche Volumen haben.
b) Ein Kegel soll ebenfalls durch einen Schnitt parallel zur Grundfläche in zwei Teilkörper gleichen Volumens zerlegt werden. Welche Höhe [mm] h_1 [/mm] hat der Kegelstumpf |
Guten Morgen alle zusammen,
ich bin mir hier schon wieder total unsicher. könntet ihr vielleicht mal drüber gucken wo mein Fehler liegt?
a) 0,5* V_Pyramide(groß) = V_Pyramidenstumpf
[mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{3}*(a_1)^2*h= \bruch{1}{3}*h_1((a_1)^2+a_1*a_2+ (a_2)^2)
[/mm]
[mm] h_1 [/mm] = [mm] \bruch{0,5(a_1)^2*h}{(a_1)^2+a_1*a_2+(a_2)^2}
[/mm]
b) 0,5* V_Kegel(groß)= V_Kegelstumpf
[mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{3}* (r_1)^2*\pi*h=\bruch{1}{3}*h_1( (r_1)^2+r_1*r_2+ (r_2)^2)\pi
[/mm]
[mm] h_1= \bruch{0,5(r_1)^2*h}{(r_1)^2+r_1*r_2+ (r_2)^2}
[/mm]
Danke!!!!
Kati
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Sa 27.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Kati
Berechne doch erstmal nur das Volumen der Pyramide und des Kegels:
Also:
[mm] V_{Kegel}=\bruch{\pi*r²*h}{3}
[/mm]
und [mm] V_{Pyramide}=\bruch{a²*h}{3}
[/mm]
Jetzt sollst du eine Kegel/Pyramidenstumpf mit der Höhe [mm] h_{0,5}, [/mm] so bezeichne ich sie einfach mal, berechnen.
Das Beispiel zeige ich dir mal am Pyramidenstumpf.
Also:
[mm] V_{pyramidenstumpf}=V_{Pyramide}-V_{fehlender Teil}
[/mm]
[mm] =\bruch{a²*h}{3}-\bruch{(a-a_{0,5})²*(h-h_{0,5}}{3}
[/mm]
[mm] =\bruch{a²*h-(a²-2aa_{0,5}+a_{0,5}²)((h-h_{0,5})}{3}
[/mm]
[mm] =\bruch{a²*h-a²h+2aa_{0,5}h-a_{0,5}²h-a²h_{0,5}-2aa_{0,5}h_{0,5}+a_{0,5}²h_{0,5})}{3}
[/mm]
[mm] =\bruch{2aa_{0,5}h-a_{0,5}²h-a²h_{0,5}-2aa_{0,5}h_{0,5}+a_{0,5}²h_{0,5})}{3}
[/mm]
[mm] V_{fehlender Teil}=\bruch{(a-a_{0,5})²*(h-h_{0,5}}{3}
[/mm]
Und jetzt soll der Kegelstumpf und der Fehlend Teil gleich gross sein. und jeweils das Halbe Volumen der Pyramide haben.
Also [mm] 1)V_{fehlenderTeil}=V{Pyramidenstumpf}
[/mm]
Und [mm] 2)0,5*V_{Pyramide}=V_{fehlenderTeil}
[/mm]
Aus 1 folgt:
[mm] \bruch{(a-a_{0,5})²*(h-h_{0,5}}{3}=\bruch{2aa_{0,5}h-a_{0,5}²h-a²h_{0,5}-2aa_{0,5}h_{0,5}+a_{0,5}²h_{0,5})}{3}
[/mm]
[mm] \gdw \green{(a-a_{0,5})²*(h-h_{0,5}=2aa_{0,5}h-a_{0,5}²h-a²h_{0,5}-2aa_{0,5}h_{0,5}+a_{0,5}²h_{0,5})}
[/mm]
und aus 2) folgt:
[mm] \bruch{a²*h}{6}=\bruch{(a-a_{0,5})²*(h-h_{0,5}}{3}
[/mm]
[mm] \gdw \green{a²h=2*(a-a_{0,5})²*(h-h_{0,5})}
[/mm]
Jetzt hast du zwei Gleichungen und zwei unbekannte, also kannst du eine nach [mm] h_{0,5} [/mm] auflösen.
2 nach [mm] h_{0,5} [/mm] aufgelöst ergibt:
[mm] a²h=2*(a-a_{0,5})²*(h-h_{0,5})
[/mm]
[mm] \gdw h_{0,5}=h-\bruch{a²h}{2(a-a_{0,5})²}
[/mm]
Falls du von [mm] a_{0,5} [/mm] unabhängige Werte haben sollst, musst du das jetzt mal in das Volumen des Fehlenden Teil einsetzen:
Also:
[mm] \bruch{(a-a_{0,5})²*(h-h_{0,5}}{3}
[/mm]
[mm] =\bruch{(a-a_{0,5})²*(h-(h-\bruch{a²h}{2(a-a_{0,5})²})}{3}
[/mm]
[mm] =\bruch{(a-a_{0,5})²*\bruch{a²h}{2(a-a_{0,5})²})}{3}
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{(a-a_{0,5})²a²h}{2(a-a_{0,5})²})}{3}
[/mm]
[mm] =\bruch{\bruch{a²h}{2}}{3}
[/mm]
[mm] =\bruch{a²h}{6}
[/mm]
Damit hast du jetzt das Volumen des fehlenden Teils, also auch des Pyramidenstumpfes in Abhängigkeit von A und h die ja durch die grosse Pyramide gegeben sind.
Ich hoffe, du kannst mit den Ergebnissen etwas anfangen, wenn nicht, frag nach.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:57 Mo 29.01.2007 | | Autor: | kati93 |
Danke Marius für deine Riesen Mühe!!!!
Ich muss zugeben,dass das ein ganz schöner Brocken für mich war!!!
Ich hab mich am Wochenende immer mal wieder damit beschäftigt und hab deinen Rechenweg jetzt auch verstanden, denk ich zumindest 
Aber ich komm da total durcheinander wegen der Bezeichnungen [mm] h_{0,5} [/mm] etc.
Könnten wir das vielleicht nochmal kurz durchgehen, mit den Bezeichnungen, mit denen ich da sonst immer arbeite? Hab dir mal die Zeichnung drangehängt.
Dein 1. Schritt war ja:
[mm] V_{Pyramidenstumpf}= \bruch{a^2*h}{3} [/mm] - [mm] \bruch{(a-a_{0,5})^2 * (h-h_{0,5})}{3}
[/mm]
Mit "meinen" Bezeichnungen würde das dann so aussehen:
= [mm] \bruch{(a_1)^2*h}{3} [/mm] - [mm] \bruch{(a_2)^2*h_2 }{3}
[/mm]
und jetzt noch: [mm] h_2 [/mm] = h - [mm] h_1
[/mm]
= [mm] \bruch{(a_1)^2*h - (a_2)^2*(h - h_1)}{3}
[/mm]
Du hast ja auch noch [mm] a_2 [/mm] ersetzt, aber das kann ich nicht ganz nachvollziehen, dh hier tauch mein erstes Problem auf.
Wenn ich mir jetzt mal die Zeichnung anguck,dann blick ich da nicht ganz durch.
Bei dir steht ja " [mm] a-a_{0,5} [/mm] "
1. Versteh ich das "Warum" nicht. Weil dann könnte man doch genauso gut einfach nur " [mm] a_2" [/mm] schreiben ,oder?
2.Versteh ich auch die Rechnung an sich nicht. Denn wenn du [mm] a_2 [/mm] von [mm] a_1 [/mm] subtrahiertst, bekommst du ja die rot markierte Fläche (s. Zeichnung)
Vielleicht kannst du mir das erstmal kurz erklären bevor ich hier weitermach!
Danke für deine Hilfe!
Liebe Grüße,
Kati
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 Di 30.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Danke Marius für deine Riesen Mühe!!!!
> Ich muss zugeben,dass das ein ganz schöner Brocken für
> mich war!!!
> Ich hab mich am Wochenende immer mal wieder damit
> beschäftigt und hab deinen Rechenweg jetzt auch verstanden,
> denk ich zumindest
> Aber ich komm da total durcheinander wegen der
> Bezeichnungen [mm]h_{0,5}[/mm] etc.
> Könnten wir das vielleicht nochmal kurz durchgehen, mit den
> Bezeichnungen, mit denen ich da sonst immer arbeite? Hab
> dir mal die Zeichnung drangehängt.
>
> Dein 1. Schritt war ja:
>
> [mm]V_{Pyramidenstumpf}= \bruch{a^2*h}{3}[/mm] -
> [mm]\bruch{(a-a_{0,5})^2 * (h-h_{0,5})}{3}[/mm]
>
> Mit "meinen" Bezeichnungen würde das dann so aussehen:
>
> = [mm]\bruch{(a_1)^2*h}{3}[/mm] - [mm]\bruch{(a_2)^2*h_2 }{3}[/mm]
>
> und jetzt noch: [mm]h_2[/mm] = h - [mm]h_1[/mm]
>
> = [mm]\bruch{(a_1)^2*h - (a_2)^2*(h - h_1)}{3}[/mm]
Yep, korrekt
>
> Du hast ja auch noch [mm]a_2[/mm] ersetzt, aber das kann ich nicht
> ganz nachvollziehen, dh hier tauch mein erstes Problem auf.
> Wenn ich mir jetzt mal die Zeichnung anguck,dann blick ich
> da nicht ganz durch.
> Bei dir steht ja " [mm]a-a_{0,5}[/mm] "
>
> 1. Versteh ich das "Warum" nicht. Weil dann könnte man doch
> genauso gut einfach nur " [mm]a_2"[/mm] schreiben ,oder?
>
> 2.Versteh ich auch die Rechnung an sich nicht. Denn wenn du
> [mm]a_2[/mm] von [mm]a_1[/mm] subtrahiertst, bekommst du ja die rot markierte
> Fläche (s. Zeichnung)
Hast mich überredet, das passt bei mir nicht.
Der einzige Weg, der mir dann noch einfallen würde, wäre, folgende Formel nach [mm] a_{2} [/mm] aufzulösen.
Es gilt ja: [mm] V_{Pyramide}=2*V_{FehlenderTeil}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{3}a_{1}²h=\bruch{2}{3}a_{2}²h_{2}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{a_{1}²h}{2(h-h_{1}}=a_{2}²
[/mm]
und das ganze kannst du jetzt in die Formel für den Kegelstumpf einsetzen
[mm] V_{kegelstumpf}=\bruch{(a_1)^2*h - (a_2)^2*(h - h_1)}{3}
[/mm]
[mm] =\bruch{(a_1)^2*h - (\bruch{a_{1}²h}{2(h-h_{1}})*(h - h_1)}{3}
[/mm]
>
> Vielleicht kannst du mir das erstmal kurz erklären bevor
> ich hier weitermach!
>
> Danke für deine Hilfe!
>
> Liebe Grüße,
> Kati
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Hilft das weiter?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:45 Mi 31.01.2007 | | Autor: | kati93 |
Mensch Marius, die Aufgabe hats ja echt in sich! Das wird ja immer komplizierter....
So, ich hab das jetzt nach [mm] (a_2)^2 [/mm] aufgelöst wie du vorgeschlagen hast:
[mm] (a_2)^2 [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{1}{2}*(a_1)^2*h}{(h-h_1)}
[/mm]
Das hab ich dann in die Formel zur Berechnung des Pyramidenstumpfs (die ich ja gott sei dank wenigstens richtig hatte) eingesetzt
V{Pyramidenstumpf}= [mm] \bruch{1}{3}*( (a_1)^2*h [/mm] - [mm] (\bruch{\bruch{1}{2}*(a_1)^2*h}{(h-h_1)})
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3}*( (a_1)^2*h [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*(a_1)^2*h)
[/mm]
Aber wie mach ich denn da jetzt weiter? Ich hab irgendwie voll den Überblick verloren....
Liebe Grüße,
Kati
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Mi 31.01.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Hast du due Seite der Grundfläche nicht gegeben? Wenn nicht, bleibt der Strahlensatz, um [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] durch h und [mm] h_{1} [/mm] auszudrücken.
Es gilt:
[mm] \bruch{a_{1}}{a_{2}}=\bruch{h}{h_{2}}
[/mm]
[mm] \gdw\bruch{a_{1}}{a_{2}}=\bruch{h}{h-h_{1}}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:16 Do 01.02.2007 | | Autor: | kati93 |
Guten Morgen Marius,
ich hab da wirklich den totalen Überblick verloren!!
Die Grundseite ist ja [mm] a_1, [/mm] zumindest hab ich sie mal so genannt. Streng genommen steht in der Skizze nur h, [mm] h_1 [/mm] und [mm] h_2. [/mm]
Mein Verständnisproblem ist:
Ich hab ja das Volumen der kompletten Pyramide gleichgesetzt mit dem doppeltem Volumen der kleinen Pyramide. Das Ergebnis was ich da für [mm] (a_2)^2 [/mm] raus hatte , hab ich ja in die Formel zur Berechnung des Pyramidenstumpfs eingesetzt. Soweit ist mir das ja auch klar.
Nun taucht ja aber in der Formel kein [mm] h_1 [/mm] mehr auf. Und die Aufgabe war ja
"Bestimme die Höhe $ [mm] h_1 [/mm] $ des Pyramidenstumpfes so,dass die beiden entstandenen Teilkörper das gleiche Volumen haben. "
Deswegen bin ich verwirrt...
Liebe Grüße,
Kati
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 Do 01.02.2007 | | Autor: | balle |
kann man nicht einfach den pyramidenstumpf=die pyramidenspitze nehmen, also
[mm] \bruch{1}{3}\*a_{1}^2\*h-\bruch{1}{3}\*a_{2}^2\*h_1=\bruch{1}{3}\*a_{2}^2\*h_1
[/mm]
und dann nach [mm] h_{1} [/mm] auflösen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 Do 01.02.2007 | | Autor: | kati93 |
Mein erster Gedanke war ja auch so ähnlich. Ich hab das Volumen der gesamten Pyramide mit dem Volumen des Pyramidenstumpfs multipliziert mit 2 gleichgesetzt und dann nach [mm] h_1 [/mm] aufgelöst.
aber anscheinend geht das so nicht
Liebe Grüße, Kati
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Do 01.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo balle und Kati
Doch, genauso gehts!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Do 01.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Kati
Ich glaub marius und du ihr habt euch da entsetzlich verrannt
Du willst, dass die Pyramide im Volumen halbiert wird. Dann nimmt man nicht den Stumpf, sondern die Spitze. und es gilt: V: ganze Pyr, [mm] V_1: [/mm] Spitze mit:
[mm] V=2V_1 [/mm] besser [mm] \bruch{V}{V_1}=2
[/mm]
[mm] V=1/3*a^2*h [/mm] und [mm] V_!=1/3*a_1^2*h_1 [/mm] und wegen
[mm] Strahlensatz:\bruch{a}{a_1}=\bruch{h}{h_1}
[/mm]
damit [mm] 2=\bruch{a^2*h}{a_1^2*h_1}=\bruch{h^3}{h_1^3}
[/mm]
Schon fertig! und wir haben:
[mm] h=\wurzel[3]{2}*h_1
[/mm]
Da wir nur Verhaeltnisse genommen haben fallen alle [mm] \pi [/mm] und so beim Kegel raus und wir haben dort dasselbe.
Viel Spass beim nachrechnen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 Sa 03.02.2007 | | Autor: | kati93 |
Hallo Leduart,
mir ist dein Weg leider noch nicht so ganz klar. Vielleicht ist das aber auch nur ein Missverständnis wegen der unterschiedlichen Bezeichnungen. ich hab jetzt mal die Skizze dazu angehängt, damit wir die gleichen Bezeichnungen benutzen.
Also, es ist ja [mm] h_1 [/mm] gesucht, also die Höhe des Pyramidenstumpfes. Deshalb ist mir nicht ganz klar, warum die das Volumen der großen Pyramide mit dem doppeltem Volumen der kleinen Pyramide gleichsetzt. Ist ja klar,dass die beiden auch gleich groß sein müssen, aber so erhalte ich ja nicht die Lösung die verlangt ist. So bekomm ich ja nur das Ergebnis für die Höhe der kleinen Pyramide, um bei der richtigen Bezeichnung zu bleiben, also [mm] h_2. [/mm] Verstehst du was ich mein?
Liebe Grüße,
Kati
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:18 Sa 03.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kati!
Dieser Rechenansatz ergibt sich aus der geforderten Eigenschaft der Volumina für die gesuchten Körper.
Schließlich sollen [mm] $V_{\text{Pyramidenspitze}}$ [/mm] und [mm] $V_{\text{Pyramidenstumpf}}$ [/mm] gleich sein: [mm] $V_{\text{Pyramidenspitze}} [/mm] \ = \ [mm] V_{\text{Pyramidenstumpf}}$
[/mm]
Damit ergibt sich für das Gesamtvolumen der Pyramide:
[mm] $V_{\text{Pyramide}} [/mm] \ = \ [mm] \green{V_{\text{Pyramidenspitze}}}+V_{\text{Pyramidenstumpf}} [/mm] \ = \ [mm] \green{V_{\text{Pyramidenstumpf}}}+ V_{\text{Pyramidenstumpf}} [/mm] \ = \ [mm] 2*V_{\text{Pyramidenstumpf}}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Sa 03.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Kati
Mein h1 war dein h2, hatte ich aber deutlich gesagt!
und da h2=h-h1 kannst du die Hoehe von denem h1 leicht aus meinem h1 ausrechnen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 Mo 05.02.2007 | | Autor: | kati93 |
Danke Leduart!!!!!! Ich weiss, ist nicht immer einfach mit mir....
Kannst du grad nochmal kurz drüber gucken ob meine Ergebnisse stimmen??
Pyramide:
[mm] h_2= \wurzel[3]{0,5} [/mm] * h
[mm] h_1= [/mm] h - [mm] \wurzel[3]{0,5} [/mm] * h
Kegel: genau das gleiche!
Danke und Liebe Grüße,
Kati
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 Di 06.02.2007 | | Autor: | kati93 |
hab grad gesehen,dass meine frage ja schon "abgelaufen" ist.
Wollte nur mal schnell drauf hinweisen,dass ich immer noch an einer Antwort interessiert bin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 Di 06.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo kati
Richtig, mit [mm] h_2 [/mm] Hoehe der abgeschnittenen Spitze.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Di 06.02.2007 | | Autor: | kati93 |
| Aufgabe | a)Ein Kegelförmiges Sektglas mit der Höhe h=10 cm soll bis zur Hälfte seines Volumens mit Sekt gefüllt werden. Wie hoch muss dazu der Sekt eingefüllt werden?
b)Die Eichmarke des Sektglases ist 10 cm hoch. ein Barkeeper füllt jedoch immer nur bis 1cm unter diese Marke. Wie viel Prozent des Sektes "spart" er dabei? |
Vielen lieben Dank Leduart!
Ich hab jetzt mal das Buch noch nach ner ähnlichen Aufgabe durchforstet und zum Glück auch eine gefunden, damit ich testen kann ob ich das auch wirklich verstanden hab. Kannst du da vielleicht nochmal kurz drüber gucken?
Wenn das so stimmt,dann hab ichs wirklich verstanden
Meine Rechnung:
a)
2= [mm] \bruch{\bruch{1}{3}* (r_1)^2*\pi*10cm}{\bruch{1}{3}*(r_2)^2*h_2}
[/mm]
2= [mm] \bruch{(r_1)^2*10cm}{(r_2)^2*h_2}
[/mm]
[mm] \bruch{r_1}{r_2} [/mm] = [mm] \bruch{h_1}{h_2}
[/mm]
2= [mm] \bruch{1000 cm^3}{(h_2)^3}
[/mm]
[mm] h_2= [/mm] 7,937 cm
b)
[mm] V_{h=10cm} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}*(r_1)^2*\pi*10cm
[/mm]
[mm] V_{h=9cm} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}*(r_1)^2*\pi*9cm
[/mm]
Er spart 10 %
Liebe Grüße, Kati
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Di 06.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Kati
Aufgabe a) richtig
b)falsch!
> a)Ein Kegelförmiges Sektglas mit der Höhe h=10 cm soll bis
> zur Hälfte seines Volumens mit Sekt gefüllt werden. Wie
> hoch muss dazu der Sekt eingefüllt werden?
> b)Die Eichmarke des Sektglases ist 10 cm hoch. ein
> Barkeeper füllt jedoch immer nur bis 1cm unter diese Marke.
> Wie viel Prozent des Sektes "spart" er dabei?
> Vielen lieben Dank Leduart!
>
> Ich hab jetzt mal das Buch noch nach ner ähnlichen Aufgabe
> durchforstet und zum Glück auch eine gefunden, damit ich
> testen kann ob ich das auch wirklich verstanden hab. Kannst
> du da vielleicht nochmal kurz drüber gucken?
> Wenn das so stimmt,dann hab ichs wirklich verstanden
>
> Meine Rechnung:
>
> a)
>
> 2= [mm]\bruch{\bruch{1}{3}* (r_1)^2*\pi*10cm}{\bruch{1}{3}*(r_2)^2*h_2}[/mm]
>
>
> 2= [mm]\bruch{(r_1)^2*10cm}{(r_2)^2*h_2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{r_1}{r_2}[/mm] = [mm]\bruch{h_1}{h_2}[/mm]
>
> 2= [mm]\bruch{1000 cm^3}{(h_2)^3}[/mm]
>
> [mm]h_2=[/mm] 7,937 cm
>
> b)
>
> [mm]V_{h=10cm}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}*(r_1)^2*\pi*10cm[/mm]
>
> [mm]V_{h=9cm}[/mm] = [mm]\bruch{1}{3}*(r_1)^2*\pi*9cm[/mm]
Hier hat sich doch auch r geaendert, es ist r2= 0,9*r1!!
damit kannst du rechnen.
Aber auch hier musst du nicht mit der ganzen Formel rechnen sondern [mm] V1/V2=h1^3/h_2^3=(9/10)^3
[/mm]
er spart also mehr als 27%
>
>
> Liebe Grüße, Kati
>
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