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Hallo Zusammen, ich habe heute lange darüber nachgedacht, ob mir ein Beispiel für einen Fall einfällt, in dem die Treu, also das Vektorraumaxiom $1 [mm] \cdot [/mm] v=v [mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V$ verletzt wird.
Fällt euch ein entsprechender Körper bzw. eine Menge von Vektoren ein, für die das nicht gilt?
Anders formuliert: Gibt es ein Menge $V$ von irgendwelchen Objekten und einen Körper $K$, so dass das Einselement mit einem Objekt aus $V$ skalarmultipliziert, nicht wieder dasselbe Objekt ergibt? (Mal abgesehen von [mm] $V=\emptyset$ [/mm] oder [mm] $V=\{0\}$ [/mm] o.ä.)
Ist nur rein interessehalber...Danke schon mal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:30 Do 19.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Zusammen, ich habe heute lange darüber nachgedacht,
> ob mir ein Beispiel für einen Fall einfällt, in dem die
> Treu, also das Vektorraumaxiom [mm]1 \cdot v=v \forall v \in V[/mm]
> verletzt wird.
>
> Fällt euch ein entsprechender Körper bzw. eine Menge von
> Vektoren ein, für die das nicht gilt?
>
> Ist nur rein interessehalber...Danke schon mal!
die Frage ist natürlich etwas zusammenhangslos: Wenn Du eine Menge
von Vektoren hast, so gehören die zu einem Vektorraum - denn nur die
Elemente eines Vektorraums tragen eigentlich den Namen "Vektor" zu
recht. Und in einem [mm] $K\,$-Vektorraum $V\,$ [/mm] gilt natürlich [mm] $1_K*v=v$ [/mm] für alle $v [mm] \in V\,.$
[/mm]
Ansonsten kannst Du natürlich selbst einfach eine Abbildung
[mm] $\odot \colon [/mm] K [mm] \times [/mm] V [mm] \to [/mm] V$
definieren, die [mm] $1_K \odot v_0=v_0$ [/mm] jedenfalls für mindestens ein [mm] $v_0 \in [/mm] V$ verletzt:
Beispielsweise einfach [mm] $K:=\IR$ [/mm] und [mm] $V:=\IR$ [/mm] und
[mm] $\odot \colon [/mm] K [mm] \times V=\IR \times \IR \ni [/mm] (r,v) [mm] \mapsto \odot(r,v):=\odot(\;(r,v)\;):=2r*v \in V=\IR\,.$
[/mm]
Dabei bezeichnet (nach dem ersten Absatz!) [mm] $\cdot$ [/mm] die übliche Multiplikation
[mm] $\cdot \colon \IR \times \IR \to \IR$ [/mm] (und es ist $2r=2 [mm] \cdot [/mm] r$).
Gruß,
Marcel
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