www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Urnenwettkampf
Urnenwettkampf < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Urnenwettkampf: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:02 Mi 04.01.2012
Autor: wieschoo

Hi,

Ich glaube ich verrenne mich irgendwie. Desweiteren habe ich auch Probleme beim aufschreiben. Also bitte alles mit Vorsicht genießen.

Problem:
Es sind 2 Urnen vorhanden Urne A und Urne B. Beide Urnen beinhalten jeweils n Kugel.


Spieler SA führt n-mal folgendes durch:
Er zieht mit Wkeit p im i-ten Schritt eine Kugel aus der Urne und legt sie weg. Mit Wkeit (1-p) nimmt er keine Kugel.

Spieler SB macht das n-mal analog mit seiner eigenen Urne:
Er zieht wieder mit Wkeit p im i-ten Schritt eine Kugel aus der Urne und legt sie weg. Mit Wkeit (1-p) nimmt er keine Kugel.

Wie groß ist die Wkeit, dass Spieler SA weniger Kugel gezogen hat als Spieler SB?

Das Ziehen der Kugel kann ich ja schreiben als
[mm]F_i=\begin{cases} 1 ,& p\\ 0,&(1-p)\end{cases}[/mm]  
und damit hat Spieler SA nach n Zügen [mm]S_n:=\sum_{i=1}^nF_i[/mm] Kugel genommen.
Spieler SB hat auch nach n Zügen [mm]S_n:=\sum_{i=1}^nF_i[/mm] Kugel genommen.

Die gesuchte Wkeit ist ja soetwas wie
[mm]P(S_n(SA) [mm]=1-\sum_{a=0}^n\sum_{k=0}^aP(S_n(SB)=k)[/mm]
[mm]=1-\sum_{a=0}^n\sum_{k=0}^a\binom nk p^k(1-p)^{n-k}=:g(n,p)[/mm]

Allerdings ist [mm]g(1,\frac{1}{2})=2[/mm]. Das ist also in keinem Fall ne Wkeit. Da muss also ein ganz grober Schnitzer drin sein.

Die Frage stellt sich ja, ob [mm]\red{=}[/mm] wirklich gilt.

        
Bezug
Urnenwettkampf: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:40 Do 05.01.2012
Autor: Al-Chwarizmi


> Hi,
>  
> Ich glaube ich verrenne mich irgendwie. Desweiteren habe
> ich auch Probleme beim aufschreiben. Also bitte alles mit
> Vorsicht genießen.
>  
> Problem:
>  Es sind 2 Urnen vorhanden Urne A und Urne B. Beide Urnen
> beinhalten jeweils n Kugel.

... man könnte auch sagen:  sie enthalten je n Kugeln  ;-)

> Spieler SA führt n-mal folgendes durch:
> Er zieht mit Wkeit p im i-ten Schritt eine Kugel aus der
> Urne und legt sie weg. Mit Wkeit (1-p) nimmt er keine
> Kugel.
>  
> Spieler SB macht das n-mal analog mit seiner eigenen Urne:
> Er zieht wieder mit Wkeit p im i-ten Schritt eine Kugel
> aus der Urne und legt sie weg. Mit Wkeit (1-p) nimmt er
> keine Kugel.
>  
> Wie groß ist die Wkeit, dass Spieler SA weniger Kugeln
> gezogen hat als Spieler SB?
>  
> Das Ziehen der Kugel kann ich ja schreiben als
>  [mm]F_i=\begin{cases} 1 ,& p\\ 0,&(1-p)\end{cases}[/mm]  
> und damit hat Spieler SA nach n Zügen [mm]S_n:=\sum_{i=1}^nF_i[/mm]
> Kugel genommen.
>  Spieler SB hat auch nach n Zügen [mm]S_n:=\sum_{i=1}^nF_i[/mm]
> Kugel genommen.
>  
> Die gesuchte Wkeit ist ja soetwas wie
>  [mm]P(S_n(SA)
>  
> [mm]=1-\sum_{a=0}^n\sum_{k=0}^aP(S_n(SB)=k)[/mm]
>  [mm]=1-\sum_{a=0}^n\sum_{k=0}^a\binom nk p^k(1-p)^{n-k}=:g(n,p)[/mm]
>  
> Allerdings ist [mm]g(1,\frac{1}{2})=2[/mm]. Das ist also in keinem
> Fall ne Wkeit. Da muss also ein ganz grober Schnitzer drin
> sein.
>  
> Die Frage stellt sich ja, ob [mm]\red{=}[/mm] wirklich gilt.  


Guten Tag wieschoo !

Ich würde mir das so zurechtlegen:
Jeder der beiden Spieler macht ja mit seiner Urne
genau dasselbe Spiel, also haben wir eine total
symmetrische Situation, und es muss gelten

     $\ [mm] P(a_n
Dabei seien [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] die Anzahlen der von SA bzw. SB
in n Schritten insgesamt gezogenen Kugeln. Um [mm] P(a_n zu berechnen, würde ich mich also zunächst um die Wahr-
scheinlichkeit

    $\ [mm] P(a_n=b_n)\ [/mm] =\ [mm] \summe_{k=0}^{n}P(a_n=b_n=k)$ [/mm]

kümmern. Und nun ist

    $\ [mm] P(a_n=b_n=k)\ [/mm] =\ [mm] P(a_n=k\ \wedge\ b_n=k)\ [/mm] =\ [mm] P(a_n=k)\ [/mm] *\ P( [mm] b_n=k)$ [/mm]

(Unabhängigkeit)

wobei   $\ [mm] P(a_n=k)\ [/mm] =\ P( [mm] b_n=k)\ [/mm] =\ [mm] \pmat{n\\k}*p^{k}*(1-p)^{n-k}$ [/mm]

(Binomialverteilung)

Jetzt einfach noch einsetzen und vereinfachen.

LG   Al





Bezug
                
Bezug
Urnenwettkampf: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:34 Do 05.01.2012
Autor: wieschoo

Danke dir. Warum denke ich immer um [mm] $\pi^2$ [/mm] Ecken mehr als man muss?

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]