Urbild bestimmen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion [mm] f:\IR \to \IR [/mm] mit D(f)= [mm] \IR [/mm] und der Abbildungsvorschrift: [mm] f(x)=x^{3}-3x+2
[/mm]
a)Zeichnen Sie die Funktion und bestimmen sie rechnerisch das Urbild der Bildmenge [mm] \IR_{0}^{+}
[/mm]
b) Ist die Funktion injektiv,surjektiv oder bijektiv? Begründen Sie ihre Aussage
c) Bestimmen Sie D(f) so, dass die Funktion f mit obiger Abbildungsvorschrift bijektiv ist (keine Begründung nötig) |
b) f(x) injektiv?
Sei y=0: [mm] x^{3}-3x+2=0 \Rightarrow (x-1)^{2}(x+2)=0 \Rightarrow [/mm] x=1 [mm] \vee [/mm] x=2 [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) ist nicht injektiv
Hier bin ich mir eig sicher dass es stimmen müsste, da für einen y-Wert 2 x-Werte gefunden wurden
surjektiv?
f(x) ist surjektiv, da jedem y aus der Bildmenge [mm] \IR [/mm] mindestens ein x zugeordnet werden kann. Dies habe ich allerdings nur aus dem Graphen abgelesen. Weiß hier leider nicht so recht wie ich das mathematisch aufschreiben soll
bijektiv?
Eine Abbildung heißt bijektiv, wenn Sie injektiv und surjektiv ist. Da f nicht injektiv ist [mm] \Rightarrow [/mm] f ist nicht bijektiv
c) [mm] D(f)=(-\infty,-1]\cup[-1,1]\cup[1,\infty) \Rightarrow [/mm] f ist bijektiv
a) Die Zeichnung hab ich natürlich hinbekommen.
Wie man allerdings das Urbild bestimmt bin ich mir leider nicht so im Klaren.
Hätte jetzt gesagt, da nur ungerade Potenzen ist das Urbild gleich dem Bild also auch wieder [mm] \IR_{0}^{+}. [/mm]
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Hi,
> Gegeben sei die Funktion [mm]f:\IR \to \IR[/mm] mit D(f)= [mm]\IR[/mm] und
> der Abbildungsvorschrift: [mm]f(x)=x^{3}-3x+2[/mm]
>
> a)Zeichnen Sie die Funktion und bestimmen sie rechnerisch
> das Urbild der Bildmenge [mm]\IR_{0}^{+}[/mm]
>
> b) Ist die Funktion injektiv,surjektiv oder bijektiv?
> Begründen Sie ihre Aussage
>
> c) Bestimmen Sie D(f) so, dass die Funktion f mit obiger
> Abbildungsvorschrift bijektiv ist (keine Begründung
> nötig)
> b) f(x) injektiv?
> Sei y=0: [mm]x^{3}-3x+2=0 \Rightarrow (x-1)^{2}(x+2)=0 \Rightarrow[/mm]
> x=1 [mm]\vee[/mm] x=2 [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) ist nicht injektiv
>
> Hier bin ich mir eig sicher dass es stimmen müsste, da
> für einen y-Wert 2 x-Werte gefunden wurden
Richtig. f(1)=f(2)=0.
> surjektiv?
> f(x) ist surjektiv, da jedem y aus der Bildmenge [mm]\IR[/mm]
> mindestens ein x zugeordnet werden kann. Dies habe ich
> allerdings nur aus dem Graphen abgelesen. Weiß hier leider
> nicht so recht wie ich das mathematisch aufschreiben soll
Das kommt darauf an, was ihr bereits gemacht habt. Am einfachsten ist es wohl mit dem Zwischenwertsatz. Ansonsten könnte man z.B. abschnittsweise Umkehrfkt. bilden.
> bijektiv?
> Eine Abbildung heißt bijektiv, wenn Sie injektiv und
> surjektiv ist. Da f nicht injektiv ist [mm]\Rightarrow[/mm] f ist
> nicht bijektiv
Richtig.
> c) [mm]D(f)=(-\infty,-1]\cup[-1,1]\cup[1,\infty) \Rightarrow[/mm] f
> ist bijektiv
Dein D(f) ist die Menge der reellen Zahlen, das passt also nicht.
> a) Die Zeichnung hab ich natürlich hinbekommen.
> Wie man allerdings das Urbild bestimmt bin ich mir leider
> nicht so im Klaren.
> Hätte jetzt gesagt, da nur ungerade Potenzen ist das
> Urbild gleich dem Bild also auch wieder [mm]\IR_{0}^{+}.[/mm]
Wieso willst du ein Urbild bestimmen?
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| Aufgabe | | siehe erster Versuch |
zu c)
[mm] D_{1}(f)=(-\infty,-1] \Rightarrow [/mm] f ist bijektiv
[mm] D_{2}(f)=[-1,1] \Rightarrow [/mm] f ist bijektiv
[mm] D_{3}(f)= [1,\infty) \Rightarrow [/mm] f ist bijektiv
zu b)
f surjektiv?
könnte ich sagen da [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)= \infty [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow -\infty}f(x)= -\infty [/mm] und f keine Definitionslücken in [mm] \IR [/mm] hat, ist f surjektiv
zu a)
Hier ist nach dem Urbild gefragt, deswegen die Frage wie man da vorzugehen hat, da ich hier nicht wirklich weiter weiß
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> siehe erster Versuch
> zu c)
> [mm]D_{1}(f)=(-\infty,-1] \Rightarrow[/mm] f ist bijektiv
> [mm]D_{2}(f)=[-1,1] \Rightarrow[/mm] f ist bijektiv
> [mm]D_{3}(f)= [1,\infty) \Rightarrow[/mm] f ist bijektiv
>
Ja.
> zu b)
>
> f surjektiv?
>
> könnte ich sagen da [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)= \infty[/mm]
> und [mm]\limes_{x\rightarrow -\infty}f(x)= -\infty[/mm] und f keine
> Definitionslücken in [mm]\IR[/mm] hat, ist f surjektiv
Die Funktion ist stetig, darauf kommt es an.
> zu a)
> Hier ist nach dem Urbild gefragt, deswegen die Frage wie
> man da vorzugehen hat, da ich hier nicht wirklich weiter
> weiß
Sorry, das hatte ich wohl überlesen.
Das Urbild kann man auch wieder an der Zeichnung ablesen, um einen Eindruck zu bekommen.
Rechnerisch sind es alle x mit [mm] $f(x)\geq [/mm] 0$.
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| Aufgabe | | siehe 1. und 2. Versuch |
zu a)
Bild: [mm] [0,\infty)
[/mm]
Urbild: Sei y [mm] \in [0,\infty)
[/mm]
Sei [mm] f(x)\ge0 \gdw x^{3}-3x+2\ge0 \gdw (x-1)^{2}(x+2)\ge0 \Rightarrow x\ge-2 \gdw [/mm] x [mm] \in [-2,\infty) [/mm] // so müsste es doch dann passen oder?
zu b) surjektivität
habe ich da schon vollständig gezeigt dass es in ganz [mm] \IR [/mm] stetig ist? (is leider schon bisschen her...)
Theoretisch könnte ich doch auch behaupten dass Polynome immer stetig sind in ganz [mm] \IR
[/mm]
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> siehe 1. und 2. Versuch
> zu a)
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> Bild: [mm][0,\infty)[/mm]
> Urbild: Sei y [mm]\in [0,\infty)[/mm]
>
> Sei [mm]f(x)\ge0 \gdw x^{3}-3x+2\ge0 \gdw (x-1)^{2}(x+2)\ge0 \Rightarrow x\ge-2 \gdw[/mm]
> x [mm]\in [-2,\infty)[/mm] // so müsste es doch dann passen oder?
Ja.
> zu b) surjektivität
>
> habe ich da schon vollständig gezeigt dass es in ganz [mm]\IR[/mm]
> stetig ist? (is leider schon bisschen her...)
Nein, das hast du noch gar nicht bewiesen.
> Theoretisch könnte ich doch auch behaupten dass Polynome
> immer stetig sind in ganz [mm]\IR[/mm]
Das ist ja auch theoretisch und praktisch und sonstwie richtig.
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