Untervektorraum in R < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:52 Mi 14.10.2009 | | Autor: | tobster |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hey!
Kann mir bitte einer kurz helfen und mal drüberschauen. Es geht um Untervektorräume. Die Aufgabe ist folgende:
K:=R, V:=R^n
Der Untervektorraum U:= {([mm]x_{1},...x_{n}[/mm]) aus V | [mm]x_{2}=x_{1}^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
Zum Verständnis kurz:
Der Untervektorraum U enthält also n-viele Elemente für die gilt das [mm]x_{2}=x_{1}^{2}[/mm]
Das heißt U enhält z.B. 2,4,5,6,7,8,9,10 usw. Es enthält aber dann z.B. nicht die 3 in meinem beispiel, richtig?
Dann zur Aufgabe:
damit das ein Untervektorraum ist muss es eine Teilmenge von V sein, dabei muss es folgendes erfüllen:
I. U ist nicht leer (das ist wohl erfüllt)
II. U ist abgeschlossen. Also wenn ich ein beliebiges x1 mit einem beliebigen xn addiere muss wieder ein x aus U herauskommen. Dies scheint offensichtlich der Fall zu sein. Wie schreibe ich das denn auf?
III. U muss bezüglich der Skalarmultiplikation abgeschlossen sein...
Da hätte ich ein Gegenbeispiel, wenn es stimmt...
Wenn mein U 2,4,5,6,7,8,9,... enthält, und ich 2 mit 1,5 (ist aus K) multipliziere, dann kommt ja 3 raus. Das wäre aber nicht in U oder?
Mein Problem ist, dass ich einfach nicht weiß wie ich es beweisen bzw. genau hinschreiben soll. Wenn mir da jemand Hilfestellung geben könnte wäre es super!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo tobster und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
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> Hey!
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> Kann mir bitte einer kurz helfen und mal drüberschauen. Es
> geht um Untervektorräume. Die Aufgabe ist folgende:
>
> [mm] $K:=\IR, V:=\IR^n$
[/mm]
> Der Untervektorraum $U:= [mm] \{(x_{1},...x_{n})^T \in V | x_{2}=x_{1}^{2}\}$
[/mm]
Das ist nie und nimmer ein Unterraum des [mm] $\IR^n$ [/mm] (es ist überhaupt kein Vektorraum!)
>
> Zum Verständnis kurz:
> Der Untervektorraum U enthält also n-viele Elemente für
> die gilt das [mm]x_{2}=x_{1}^{2}[/mm]
> Das heißt U enhält z.B. 2,4,5,6,7,8,9,10 usw. Es
> enthält aber dann z.B. nicht die 3 in meinem beispiel,
> richtig?
>
> Dann zur Aufgabe:
> damit das ein Untervektorraum ist muss es eine Teilmenge
> von V sein, dabei muss es folgendes erfüllen:
> I. U ist nicht leer (das ist wohl erfüllt) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> II. U ist abgeschlossen. Also wenn ich ein beliebiges x1
> mit einem beliebigen xn addiere muss wieder ein x aus U
> herauskommen. Dies scheint offensichtlich der Fall zu sein. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Mit scheinen kommt man in Mathe nicht weit 
Die Bedingung mit dem Quadrat sollte dich mehr als skeptisch machen.
Es ist ja sicher der Vektor [mm] $\vec{a}=\vektor{2\\4\\0\\0\\\vdots\\0}\in [/mm] U$
Nun berechne mal [mm] $\vec{a}+\vec{a}$
[/mm]
Das Ergebnis ist doch nie und nimmer [mm] $\in [/mm] U$
> Wie schreibe ich das denn auf?
> III. U muss bezüglich der Skalarmultiplikation
> abgeschlossen sein...
> Da hätte ich ein Gegenbeispiel, wenn es stimmt...
> Wenn mein U 2,4,5,6,7,8,9,... enthält, und ich 2 mit 1,5
> (ist aus K) multipliziere, dann kommt ja 3 raus. Das wäre
> aber nicht in U oder?
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
$U$ enthält doch Vektoren ...
Ich verstehe nicht, was du meinst.
Aber Recht hast du mit der Aussage, dass die Abgeschlossenheit bzgl. der Multiplikation mit Skalaren aus dem Körper [mm] $\IR$ [/mm] verletzt ist.
Gleiches Gegenbsp. wie oben: nimm [mm] $\vec{a}=\vektor{2\\4\\0\\0\\\vdots\\0}\in [/mm] U$ und [mm] $2\in\IR$
[/mm]
Dann ist [mm] $2\cdot{}\vec{a}=...$
[/mm]
Ist das Ding wieder in $U$?
>
> Mein Problem ist, dass ich einfach nicht weiß wie ich es
> beweisen bzw. genau hinschreiben soll. Wenn mir da jemand
> Hilfestellung geben könnte wäre es super!
Hier reicht ein Gegenbsp. aus, um zu widerlegen, dass $U$ ein VR (bzw. ein UVR des [mm] $\IR^n$) [/mm] ist.
Mit Angabe eines der beiden Gegenbsp. hast du schon gezeigt, dass $U$ kein VR, insbesondere kein UVR des [mm] $\IR^n$ [/mm] ist.
Wenn du eine andere Menge, sagen wir [mm] $U_2=\{(x_1,....,x_n)^T\in\IR^n\mid x_n=0\}$ [/mm] gegeben hättest, so müsstest du die 3 Kriterien nachrechnen und dir dabei die definierende Eigenschaft der Vektoren aus [mm] $U_2$ [/mm] zunutze machen.
ZB. für die Abgeschlossenheit bzgl. Vektoraddition:
Da nimmst du dir zwei beliebige Vektoren [mm] $\vec{x}=\vektor{x_1\\\vdots\\x_{n-1}\\0}$ [/mm] und [mm] $\vec{y}=\vektor{y_1\\\vdots\\y_{n-1}\\0}\in U_2$ [/mm] her.
Dann berechne [mm] $\vec{x}+\vec{y}$ [/mm] und schaue, ob das Ergebnis wieder [mm] $\in U_2$ [/mm] ist, ob also die letzte Komponente des Summenvektors 0 ist ...
Analog mit der Abgeschlossenheit bzgl. Multiplikation mit Skalaren ...
Du kannst das ja mal im Detail machen als Übung ...
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Do 15.10.2009 | | Autor: | tobster |
Ok vielen Dank! Dann habe ich es ja zumindest in diesem Fall verstanden und zur Abwechslung mal selber gelöst
Eine Frage hätte ich aber noch zu folgendem Fall:
Wenn K:=Q unnd V:=C mit übliche Addition und skalare Multiplikation, dann soll U so aussehen:
[mm] $U:=\left\{x \in V | \exists \text{ Polynom } P \not= 0 \text{ mit rationalen Koeffizienten, so dass gilt } P(x) = 0 \right\}$
[/mm]
Ich soll dann zeigen, dass es ein Unterraum ist, oder eben nicht.
Mein Problem hierbei ist, dass ich nicht genau verstehe, wie U definiert ist.
Es gibt ein Polynom P (ungleich 0) mit rationalen Koeffizienten für das gilt, wenn ich x in P einsetze kommt 0 raus. Das Polynom P an sich ist aber ungleich 0. Das verstehe ich nicht ganz, wie kann ich mir sowas vorstellen.
Und wie kann ich dann darauf die Unterraumbedingungen anwenden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 Do 15.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Die Definition von U ist die folgende:
[mm] x_0 \in [/mm] U genau dann, wenn eis ein Polynom mit den folgenden Eigenschaften gibt:
1. P hat rationale Koeeffizienten,
2. P ist nicht das Nullpolynom (das ist mit $P [mm] \not=0$ [/mm] gemeint)
3. [mm] x_0 [/mm] ist Nullstelle von P.
Beispiel: ist [mm] x_0 [/mm] =2 [mm] \in [/mm] U ? Ja!
Setze $P(x) := [mm] x^2-x-2$
[/mm]
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:57 Do 15.10.2009 | | Autor: | tobster |
Ok alles klar, danke!
Nun gilt es ja wieder die Unterraumaxiome zu testen.
Das erste gilt schonmal:
U enthält ja nicht die leere Menge. (als beispiel reicht ja das eine mit der 2)
Nun muss ich ja noch Abgeschlossenheit bezüglich Addition und der skalaren Multiplikation testen.
Zur Abgeschlossenheit mit der Addition:
Sei x,y aus U beliebig, dann muss ja gelten:
x + y= z wobei z wieder in U ist.
Ich muss also zu z wieder einen Term finden, für den das Polynom gleich 0 ist. Dies scheint mir zwar offensichtlich zu stimmen, nur wie schreibe ich das ordentlich auf.
Ich muss ja zeigen, dass P(z) auch wieder 0 ergibt, P(z) also ein Element aus U ist.
Danke für eure Mühen auch wenn ihr es schwer habt mit mir 
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> Zur Abgeschlossenheit mit der Addition:
> Sei x,y aus U beliebig, dann muss ja gelten:
>
> x + y= z wobei z wieder in U ist.
> Ich muss also zu z wieder einen Term finden, für den das
> Polynom gleich 0 ist. Dies scheint mir zwar offensichtlich
> zu stimmen,
Hallo,
so offensichtlich finde ich das gar nicht.
Man müßte hier doch zeigen, daß die Summe algebraischer Zahlen algebraisch ist, und wenn ich mich nicht täusche, ist das kein Zweizeiler.
Wenn in Du aus irgendeinem Grund Zugriff darauf hast, daß die algebraischen Zahlen einen Körper bilden, dann hast Du es gut, denn die Aussage von oben ist inkludiert - aber wenn nicht?
Gruß v. Angela
> nur wie schreibe ich das ordentlich auf.
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> Ich muss ja zeigen, dass P(z) auch wieder 0 ergibt, P(z)
> also ein Element aus U ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Sa 17.10.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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