Untervektorraum, Affiner Uraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:20 Sa 21.11.2009 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Sei $\ V $ ein Vektorraum über dem Körper $\ [mm] \mathbb [/mm] K $ mit $\ 1+1 [mm] \not= [/mm] 0 $ und sei $\ [mm] \emptyset [/mm] = A [mm] \subseteq [/mm] V $ eine Teilmenge.
Zeigen Sie, dass $\ A $ genau dann ein affiner Unterraum ist, wenn für alle $\ a,b [mm] \in [/mm] A $ und $\ [mm] \lambda \in \mathbb [/mm] K $
$\ [mm] \lambda [/mm] a + [mm] (1-\lambda [/mm] )b [mm] \in [/mm] A $ gilt. |
Hallo,
ich habe Schwierigkeiten beim Lösen dieser Aufgabe.
Eine Teilmenge $\ A $ von $\ V $ ist ja nach Definition genau dann ein affiner Unterraum von $\ V $, wenn es einen Untervektorraum von $\ U $ von $\ V $ gibt, so dass
$\ A = a + U = [mm] \{a+u : u \in U \} [/mm] $ mit $\ a [mm] \in [/mm] A $ gilt.
Für $\ U $ gilt:
U1: $\ 0 [mm] \in [/mm] U $
U2: $\ v, w [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] v+w [mm] \in [/mm] U $
U3: $\ v [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow \lambda [/mm] v [mm] \in [/mm] U $ mit $\ [mm] \lambda \in \mathbb [/mm] K $
So, ich schaffe es nun aber nicht, das auf meinen affinen Unterraum zu übertragen bzw zu dem in der Aufgabe genannten Term zu gelangen.
Ich kann aus den Informationen so viel gewinnen, dass ich weiss, dass nach U1-U3 für den affinen Unterraum $\ A $ gilt
$\ A = a + [mm] \lambda(v+w) [/mm] $ mit $\ [mm] \lambda \in \mathbb [/mm] K $
Ich dachte mir, eventuell könnte ich folgedes probieren:
$\ [mm] \lambda [/mm] a + [mm] (1-\lambda [/mm] )b = [mm] \lambda(a+(-b)) [/mm] +b = b + [mm] \lambda(a+(-b)) [/mm] $
Aber geht das? Ich weiss ja nicht, ob $\ a,w,v $ Elemente von $\ A $ sind.
Etwas anders wäre es, wenn $\ A $ auch ein Untervektorraum von $\ V $ wäre. Dann könnte ich mit $\ U1-U3 $ glaube ich zeigen, dass für alle $\ a,b, [mm] \in [/mm] A $ auch $\ [mm] \lambda [/mm] a + [mm] (1-\lambda [/mm] )b [mm] \in [/mm] A $ gilt.
Ich habe das Gefühl, dass ich total im Dunkeln tappe und nicht so ganz weiss, wie ich die Dinge zusammenkrieg.
Es wäre toll, wenn jemand etwas Klarheit schaffen könnte. Aber bitte keine Lösungen, ich möchte das verstehen.
Vielen Dank
Grüße
ChopSuey
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> Sei [mm]\ V[/mm] ein Vektorraum über dem Körper [mm]\ \mathbb K[/mm] mit [mm]\ 1+1 \not= 0[/mm]
> und sei [mm]\ \emptyset \red{\not=} A \subseteq V[/mm] eine Teilmenge.
> Zeigen Sie, dass [mm]\ A[/mm] genau dann ein affiner Unterraum ist,
> wenn für alle [mm]\ a,b \in A[/mm] und [mm]\ \lambda \in \mathbb K[/mm]
>
> [mm]\ \lambda a + (1-\lambda )b \in A[/mm] gilt.
> Hallo,
>
> ich habe Schwierigkeiten beim Lösen dieser Aufgabe.
>
> Eine Teilmenge [mm]\ A[/mm] von [mm]\ V[/mm] ist ja nach Definition genau
> dann ein affiner Unterraum von [mm]\ V [/mm], wenn es einen
> Untervektorraum von [mm]\ U[/mm] von [mm]\ V[/mm] gibt, so dass
>
> [mm]\ A = a + U = \{a+u : u \in U \}[/mm] mit [mm]\ a \in A[/mm] gilt.
>
> Für [mm]\ U[/mm] gilt:
>
> U1: [mm]\ 0 \in U[/mm]
> U2: [mm]\ v, w \in U \Rightarrow v+w \in U[/mm]
> U3: [mm]\ v \in U \Rightarrow \lambda v \in U[/mm] mit [mm]\ \lambda \in \mathbb K[/mm]
Hallo,
gut, daß Du die Def. und die UR-Kriterien schonmal aufgeschrieben hast.
Zunächst mal mal die Aussage anschaulich:
A ist ein affiner Unterraum von V, wenn zu je zwei zwei verschiedenen Punkten aus A auch ihre Verbindungsgerade in A liegt.
Es sind hier zwei Beweise zu führen:
A. A ist affiner Unterraum von V ==> für alle [mm]\ a,b \in A[/mm] und [mm]\ \lambda \in \mathbb K[/mm] gilt $ [mm] \lambda [/mm] a + [mm] (1-\lambda [/mm] )b [mm] \in A=b+\lambda(b-a)\in [/mm] A$
B. Für alle [mm]\ a,b \in A[/mm] und [mm]\ \lambda \in \mathbb K[/mm] gilt $ [mm] \lambda [/mm] a + [mm] (1-\lambda [/mm] )b [mm] \in A=b+\lambda(b-a)\in [/mm] A$ ==> A ist affiner Unterraum.
Der Beweis zu A. ist sehr einfach, ich denke, den bekommst Du hin.
Bedenke, daß affiner Unterraum bedeutet, daß es ein p gibt und einen UVR U mit A=p+U.
Nun nimm Dir a und b aus A und rechne nach.
B. ist schwieriger.
Idee: man muß ja zeigen, daß es einen UVR U gibt und einen Punkt [mm] p\in [/mm] A mit A=p+U.
Na gut, da A nichtleer ist, können wir schonmal schreiben: sei [mm] p\in [/mm] A.
Jetzt zeige, daß die Menge [mm] U:=\{ x-p | x\in A\} [/mm] ein UVR von V ist. (Vielleicht schreibt Ihr statt x-p als Vektor [mm] \vec{px}.)
[/mm]
Dies läuft auf den Nachweis der UR-Kriterien hinaus.
Zeige zunächst U1 und U3.
Für U3 nimm Dir zwei Elemente aus U, also a-p und b-p mit a,b [mm] \in [/mm] A. Nun ist zu zeigen, daß die Summe auch in U ist.
Unterscheide die Fälle a-p, b-p linear abhängig und a-p, b-p unabhängig.
Ersteres ist sehr einfach, bei "unabhängig" dann mußt Du die Voraussetzung ausspielen.
> Es wäre toll, wenn jemand etwas Klarheit schaffen könnte.
> Aber bitte keine Lösungen, ich möchte das verstehen.
Gut. ich sag' dann mal erstmal nichts mehr, und Du versuchst ein bißchen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 Sa 21.11.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Angela,
> > Sei [mm]\ V[/mm] ein Vektorraum über dem Körper [mm]\ \mathbb K[/mm] mit [mm]\ 1+1 \not= 0[/mm]
> > und sei [mm]\ \emptyset \red{\not=} A \subseteq V[/mm] eine
> Teilmenge.
> > Zeigen Sie, dass [mm]\ A[/mm] genau dann ein affiner Unterraum
> ist,
> > wenn für alle [mm]\ a,b \in A[/mm] und [mm]\ \lambda \in \mathbb K[/mm]
> >
> > [mm]\ \lambda a + (1-\lambda )b \in A[/mm] gilt.
> > Hallo,
> >
> > ich habe Schwierigkeiten beim Lösen dieser Aufgabe.
> >
> > Eine Teilmenge [mm]\ A[/mm] von [mm]\ V[/mm] ist ja nach Definition genau
> > dann ein affiner Unterraum von [mm]\ V [/mm], wenn es einen
> > Untervektorraum von [mm]\ U[/mm] von [mm]\ V[/mm] gibt, so dass
> >
> > [mm]\ A = a + U = \{a+u : u \in U \}[/mm] mit [mm]\ a \in A[/mm] gilt.
> >
> > Für [mm]\ U[/mm] gilt:
> >
> > U1: [mm]\ 0 \in U[/mm]
> > U2: [mm]\ v, w \in U \Rightarrow v+w \in U[/mm]
> > U3: [mm]\ v \in U \Rightarrow \lambda v \in U[/mm] mit [mm]\ \lambda \in \mathbb K[/mm]
>
> Hallo,
>
> gut, daß Du die Def. und die UR-Kriterien schonmal
> aufgeschrieben hast.
>
>
> Zunächst mal mal die Aussage anschaulich:
> A ist ein affiner Unterraum von V, wenn zu je zwei zwei
> verschiedenen Punkten aus A auch ihre Verbindungsgerade in
> A liegt.
>
> Es sind hier zwei Beweise zu führen:
>
> A. A ist affiner Unterraum von V ==> für alle [mm]\ a,b \in A[/mm]
> und [mm]\ \lambda \in \mathbb K[/mm] gilt [mm]\lambda a + (1-\lambda )b \in A=b+\lambda(b-a)\in A[/mm]
>
> B. Für alle [mm]\ a,b \in A[/mm] und [mm]\ \lambda \in \mathbb K[/mm] gilt
> [mm]\lambda a + (1-\lambda )b \in A=b+\lambda(b-a)\in A[/mm] ==> A
> ist affiner Unterraum.
>
>
> Der Beweis zu A. ist sehr einfach, ich denke, den bekommst
> Du hin.
> Bedenke, daß affiner Unterraum bedeutet, daß es ein p
> gibt und einen UVR U mit A=p+U.
> Nun nimm Dir a und b aus A und rechne nach.
>
Genau da habe ich leider Schwierigkeiten.
Ich weiss leider nichts über solche Elemente $\ a, b $ aus $\ A $.
Was soll ich mit a und b denn machen?
Ich weiss ja nur, dass $\ A = p + U $ und $\ p [mm] \in [/mm] V $
Ich weiss allerhöchstens noch, dass wegen U1-U3 gilt
$\ A = p + [mm] \lambda(v+w) [/mm] $ für alle $\ v,w [mm] \in [/mm] U $
Aber ich kann hier keine Elemente aus A einbringen.
Was muss ich weiter beachten oder wissen?
Grüße
ChopSuey
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> > Es sind hier zwei Beweise zu führen:
> >
> > A. A ist affiner Unterraum von V ==> für alle [mm]\ a,b \in A[/mm]
> > und [mm]\ \lambda \in \mathbb K[/mm] gilt [mm]\lambda a + (1-\lambda )b \in A=b+\lambda(b-a)\in A[/mm]
> > Der Beweis zu A. ist sehr einfach, ich denke, den bekommst
> > Du hin.
> > Bedenke, daß affiner Unterraum bedeutet, daß es ein p
> > gibt und einen UVR U mit A=p+U.
> > Nun nimm Dir a und b aus A und rechne nach.
> >
>
> Genau da habe ich leider Schwierigkeiten.
> Ich weiss leider nichts über solche Elemente [mm]\ a, b[/mm] aus [mm]\ A [/mm].
>
> Was soll ich mit a und b denn machen?
>
> Ich weiss ja nur, dass [mm]\ A = p + U[/mm] und [mm]\ p \in V[/mm]
Hallo,
da A ein affiner UR ist, gibt es ein [mm] p\in [/mm] V und einen UVR U mit A=p+U.
Jetzt nehmen wir zwei Elemente [mm] a,b\in [/mm] A.
Weil A ein affiner UR ist, können wir sie schreiben als
[mm] a=p+u_a [/mm] und [mm] b=p+u_b [/mm] mit [mm] u_a. u_b\in [/mm] U.
Nun gilt es, einen Grund dafür zu finden, daß für jedes [mm] \lambda
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] a + [mm] (1-\lambda [/mm] )b [mm] \in [/mm] A ist.
Wir müssen also zeigen, daß man [mm] \lambda [/mm] a + [mm] (1-\lambda [/mm] )b schreiben kann als p+u mit [mm] u\in [/mm] U.
Sicher kannst Du unterwegs U1-U3 gebrauchen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:29 Sa 21.11.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Angela,
vielen Dank für die Hilfe, jetzt seh' ich etwas klarer.
Ich habe die Aufgabe aufgeschoben und komme bei Fragen später ggfs. morgen nochmal drauf zurueck, wenn ich Schwierigkeiten habe. Was ich irgendwie stark vermute 
Gruß
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Sa 21.11.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich habe jetzt versucht, mit den Hinweisen zu zeigen, dass
a-p + b-p =a+b-2p [mm] \in [/mm] U [mm] \gdw [/mm] a+b-p [mm] \in [/mm] A ist.
Nach dem Hinweis , habe ich angenommen, dass a-p und b-p
linear abhängig sind . D.h , es gilt : [mm] \lambda(a-p)=b-p.
[/mm]
Diesen Ausdruck habe ich in a+b-p [mm] \in [/mm] A eingesetzt.
Also noch zu zeigen, dass [mm] a+\lambda [/mm] a [mm] -\lambda [/mm] p [mm] \in [/mm] A ist.
Wäre A ein UVR würde das gelten. Ist A ein UVR ?? ( 0 muss enthalten sein, woher weiß man , dass 0 dabei ist? (wenn es überhaupt so ist))
Also, ich stecke momentan bei [mm] a+\lambda [/mm] a [mm] -\lambda [/mm] p [mm] \in [/mm] A.
Danke und Gruss!
Igor
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Hallo,
ich vergaß es in meinem Hinweis ausdrücklich zu erwähnen:
Mit U:={x-p| [mm] x\in A\}, [/mm] ist es klar, daß A=p+U.
Was noch nicht klar ist, ist, daß U ein Untervektorraum ist.von V.
> ich habe jetzt versucht, mit den Hinweisen zu zeigen, dass
> a-p + b-p =a+b-2p [mm]\in[/mm] U [mm]\gdw[/mm] a+b-p [mm]\in[/mm] A ist.
> Nach dem Hinweis , habe ich angenommen, dass a-p und b-p
> linear abhängig sind . D.h , es gilt : [mm]\lambda(a-p)=b-p.[/mm]
Ja.
Du hast ja U1 und U3 schon zuvor gezeigt, oder? (Solltest Du.)
Dann ist
a-p + [mm] b-p=(\lambda+1)(a-p)\in [/mm] U nach U2.
> Wäre A ein UVR würde das gelten. Ist A ein UVR ??
Nein, i.a. nicht.
( 0
> muss enthalten sein, woher weiß man , dass 0 dabei ist?
> (wenn es überhaupt so ist))
In affinen Räumen ist die 0 nur drin, wenn es UVR sind. (Anschaulich: Ebenen durch den Ursprung. Ansonsten: "verschobene" Untervektorräume)
Gruß v. Angela.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 So 22.11.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
bei U1 habe ich verwendet, dass p [mm] \in [/mm] A liegt. Die Behauptung folgt dann
schnell daraus.
Bei U3 habe ich so angefangen :
Sei [mm] u_{1} \in [/mm] U [mm] \gdw u_{1}= x_{1}+p [/mm] für ein [mm] x_{1} \in [/mm] A .
Zu zeigen: [mm] \lambda u_{1} [/mm] = [mm] \lambda (x_{1}+p) \in [/mm] U [mm] \gdw [/mm]
[mm] \lambda (x_{1}+p)= x_{2} [/mm] +p für ein [mm] x_{2} \in [/mm] A. [mm] \gdw
[/mm]
[mm] \lambda (x_{1}+p)-p \in [/mm] A
Wie argumentiert man hier weiter ?
Danke und Gruss!
Igor
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> Hallo,
>
> bei U1 habe ich verwendet, dass p [mm]\in[/mm] A liegt. Die
> Behauptung folgt dann
> schnell daraus.
>
> Bei U3 habe ich so angefangen :
> Sei [mm]u_{1} \in[/mm] U [mm]\gdw u_{1}= x_{1}\red{-}p[/mm] für ein [mm]x_{1} \in[/mm] A .
Hallo,
U war ja: [mm] U:=\{ x-p|x\in A}.
[/mm]
> Zu zeigen: [mm]\lambda u_{1}[/mm] = [mm]\lambda (x_{1}\red{-}p) \in[/mm] U [mm]
Ja.
Und das ist in U, wenn man es schreiben kann als
> [mm]\lambda (x_{1}\red{-}p)= x_{2}[/mm] [mm] \red{-}p [/mm] für ein [mm]x_{2} \in[/mm] A.
Man muß also einen Grund dafür finden, daß
p [mm] +\lambda (x_{1}\red{-}p) [/mm] in A liegt.
Diesen findest Du in der Voraussetzung.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:18 So 22.11.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
in der Tat liefert dann die Voraussetzung
[mm] b+\lambda(a-b) [/mm] für alle a,b [mm] \in [/mm] A und [mm] \lambda \in \IK [/mm] den Nachweis für U3.
Bei U2 blieb ja noch zu zeigen, dass [mm] a+\lambda(a-p) \in [/mm] A liegt.
Ich wollte das mit der Voraussetzung [mm] b+\lambda(a-b) [/mm] für alle a,b [mm] \in [/mm] A und [mm] \lambda \in \IK [/mm] zeigen, jedoch die Voraussetzung unterscheidet sich auf den ersten Blick von der Behauptung [mm] a+\lambda(a-p) \in [/mm] A .
( eine Behauptung wie [mm] a+\lambda(p-a) \in [/mm] A oder [mm] p+\lambda(p-a) \in [/mm] A, würde man direkt mit Hilfe der Voraussetzung nachweisen können).
Wie sollte man hier argumentieren?
Danke und Gruss!
Igor
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> Hallo,
>
> in der Tat liefert dann die Voraussetzung
> [mm]b+\lambda(a-b)[/mm] für alle a,b [mm]\in[/mm] A und [mm]\lambda \in \IK[/mm] den
> Nachweis für U3.
> Bei U2 blieb ja noch zu zeigen, dass [mm]a+\lambda(a-p) \in[/mm] A
> liegt.
Hallo,
ich habe jetzt etwas den Faden verloren.
Gezeigt und somit abgehakt sind inzwischen U1 und [mm] U_3, [/mm] sowie U2 für linear abhängige (a-p), (b-p). Richtig?
Vielleicht zeigst Du jetzt nochmal, was Du nun bisher für den Nachweis von (a-p)+(b-p) mit (a-p),(b-p) linear unabhängig getan hast,
und wo es dann stockt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
U1 und U3 habe ich, denke ich ,gezeigt.
In meinem letzten posting habe ich geschrieben, dass ich
momentan bei U2 für linear abhängige Vektoren bin.
Das Problem, wo es stockt, habe ich dort beschrieben.
Danke und Gruss!
Igor
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> Hallo,
>
> U1 und U3 habe ich, denke ich ,gezeigt.
>
> In meinem letzten posting habe ich geschrieben, dass ich
> momentan bei U2 für linear abhängige Vektoren bin.
>
> Das Problem, wo es stockt, habe ich dort beschrieben.
Hallo,
meinst Du dies:
> Bei U2 blieb ja noch zu zeigen, dass $ [mm] a+\lambda(a-p) \in [/mm] $ A liegt.
Das zu zeigen ist unpraktisch.
Mit U3 hat man doch direkt:
(a-p) [mm] +\lambda(a-p)=(\lambda+1)(a-p)\in [/mm] U.
(Ich hatte das übrigens schonmal geschrieben.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Do 26.11.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
für die linear abhängige habe ich jetzt gezeigt, dass die Summe in U liegt.
Für linear unabhängige hat man die Voraussetzung und eine Bedingung für
die lineare Unabhängigkeit
[mm] \lambda [/mm] (a-p) + [mm] \mü [/mm] (b-p) =0 [mm] \Rightarrow \lambda, \mü \in \IK.
[/mm]
Zu zeigen, dass a-p + b-p [mm] \in [/mm] U liegt oder a+b-p [mm] \in [/mm] A liegt.
Momentan fällt mir kein Ansatz ein.
Wie sollte man hier vorgehen?
Danke und Gruss!
Igor
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> Hallo,
>
> für die linear abhängige habe ich jetzt gezeigt, dass die
> Summe in U liegt.
>
> Für linear unabhängige hat man die Voraussetzung und eine
> Bedingung für
> die lineare Unabhängigkeit
> [mm]\lambda[/mm] (a-p) + [mm]\mu[/mm] (b-p) =0 [mm]\Rightarrow \lambda, \mu \in \IK.[/mm]
Hallo,
???
>
> Zu zeigen, dass a-p + b-p [mm]\in[/mm] U liegt oder a+b-p [mm]\in[/mm] A
> liegt.
Ja.
> Momentan fällt mir kein Ansatz ein.
Was hast Du denn versucht?
Tun kannst Du dies:
überlege Dir, daß mit a und b auch [mm] \bruch{1}{2}(a+b)\in [/mm] A,
folglich [mm] \bruch{1}{2}(a+b)-p \in [/mm] U.
Daraus erhältst Du, daß
[mm] \bruch{1}{2}(a-p)+\bruch{1}{2}(b-p) \in [/mm] U,
und dazu, daß dann die fragliche Summe in U ist, ist's nur noch ein kleiner Schritt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:30 Fr 27.11.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
es soll natürlich heißen: [mm] \lambda [/mm] a + [mm] \mu [/mm] b= 0 [mm] \Rightarrow \lambda= \mu [/mm] = 0 [mm] \lambda [/mm] , [mm] \mu \in \IK.
[/mm]
Danke und Gruss!
Igor
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