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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
| Aufgabe | Sei V= [mm] \IR^{3}
[/mm]
U= { [mm] \vektor{x \\ y \\ z } \in \IR^{3} [/mm] mit 12x - [mm] \pi [/mm] y +3z =0 } |
Hier soll ich prüfen ob es ein UVR des [mm] \IR^{3} [/mm] ist. Nun an für sich müsste ich da die 3 UVR Axiome anwenden.
Also U ist nicht leer da [mm] \vektor{ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] in U drin liegt. Dann habe ich mir zwei Vektoren genommen [mm] \vektor{ 0 \\ 3 \\ \pi} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ -3 \\ -\pi }. [/mm] die addition der beiden vektoren ergibt null also auch abgeschlossen gegenüber der addition. Es ist auch abgeschlossen gegen über der multiplikation denn [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] ist in U drin damit ist es ein UVR. Ist das bis hierher richtig?? Aber kann man das nicht viel kürzer machen indem ich einfach nur sage dass es sich um einen UVR handeln MUSS weil U in [mm] \IR^{3} [/mm] eine Ebene durch den Nullpunkt bildet??? Handelt es sich zb um den folgenden UVR U= { [mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] mit 2x+3y-4z= 1} kann man doch sagen ohne die Axiome zu überprüfen dass es sich um keinen UVR des [mm] \IR^{3} [/mm] handeln kann da 0 [mm] \not\in [/mm] U ist oder sehe ich das falsch.
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:27 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Kroni |
> Sei V= [mm]\IR^{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> U= { [mm]\vektor{x \\ y \\ z } \in \IR^{3}[/mm] mit 12x - [mm]\pi[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
y +3z
> =0 }
> Hier soll ich prüfen ob es ein UVR des [mm]\IR^{3}[/mm] ist. Nun an
> für sich müsste ich da die 3 UVR Axiome anwenden.
Hi, das ist korrekt.
> Also U ist nicht leer da [mm]\vektor{ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm] in U drin
> liegt.
Ja.
Dann habe ich mir zwei Vektoren genommen [mm]\vektor{ 0 \\ 3 \\ \pi}[/mm]
> und [mm]\vektor{0 \\ -3 \\ -\pi }.[/mm] die addition der beiden
> vektoren ergibt null also auch abgeschlossen gegenüber der
> addition.
Das musst du allgemein zeigen! Du musst dir also zwei allgemeine Vektoren x,y,z und x',y',z' hernehmen, die addieren und dann sagen, dass diese ebenfalls in diesem UV sind. Es reicht nicht, zwei Beispiele anzugeben.
Es ist auch abgeschlossen gegen über der
> multiplikation denn [mm]\lambda[/mm] * [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] ist in U
> drin damit ist es ein UVR. Ist das bis hierher richtig??
Ja, aber du musst das ganze allgemein zeigen.
> Aber kann man das nicht viel kürzer machen indem ich
> einfach nur sage dass es sich um einen UVR handeln MUSS
> weil U in [mm]\IR^{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
eine Ebene durch den Nullpunkt bildet???
Wenn ihr das schon so in der Vorlesung hattet, dass eine Ebene im \IR^3 der den Ursprung beinhaltet ein UV ist, dann kannst du das so formulieren.
> Handelt es sich zb um den folgenden UVR U= { [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> mit 2x+3y-4z= 1} kann man doch sagen ohne die Axiome zu
> überprüfen dass es sich um keinen UVR des [mm]\IR^{3}[/mm] handeln
> kann da 0 [mm]\not\in[/mm] U ist oder sehe ich das falsch.
Nein, m.E. ist diese Sichtweise korrekt. Aber ich weiß ja nicht, ob ihr das so schon in der Vorlesung hattet. Denn normalerweise musst du dann "stur" die drei Axiome überprüfen, und das allgemein.
LG
Kroni
>
> Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo!
Danke für die schnelle Antwort. Nein das mit der Ebene hatten wir noch nicht explizit in der vorlesung ich kenne es aber aus der schule. Nun also allgmein, meinst du das so:
Sei [mm] u=(u_{1}, u_{2}, u_{3}) \in [/mm] U und [mm] v=(v_{1}, v_{2}, v_{3}) \in [/mm] U dann ist auch u+v also [mm] u=(u_{1}+v_{1}, u_{2}+v_{2}, u_{3}+v_{3}) \in [/mm] U also ist die abgeschlossenheit bzgl der addition gezeigt???? Analog das mit der abgeschlossenheit der multiplikation mit skalaren
Gruß
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Hallo Tyskie,
> Hallo!
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> Danke für die schnelle Antwort. Nein das mit der Ebene
> hatten wir noch nicht explizit in der vorlesung ich kenne
> es aber aus der schule. Nun also allgmein, meinst du das
> so:
> Sei [mm]u=(u_{1}, u_{2}, u_{3}) \in[/mm] U und [mm]v=(v_{1}, v_{2}, v_{3}) \in[/mm]
> U dann ist auch u+v also [mm]u=(u_{1}+v_{1}, u_{2}+v_{2}, u_{3}+v_{3}) \in[/mm]
> U also ist die abgeschlossenheit bzgl der addition
> gezeigt????
Ja, das musst du zeigen. Benutze dazu die Eigenschaften die $u, v$ haben, wenn sie [mm] \in [/mm] U sind:
Mit [mm] $u=\vektor{u_1\\u_2\\u_2}\in [/mm] U$ ist also [mm] $12u_1+\pi u_2+3u_3=0$
[/mm]
Ebenso für [mm] $v=\vektor{v_1\\v_2\\v_3}\in [/mm] U$: [mm] \quad $12v_1+\pi v_2+3v_3=0$
[/mm]
Dann ist [mm] $u+v=\vektor{12u_1+12v_1\\\pi u_2+\pi v_2\\3u_3+3v_3}=\vektor{12(u_1+v_1)\\\pi(u_2+v_2)\\3(u_3+v_3)}=0$
[/mm]
Also ist [mm] $u+v\in [/mm] U$ s. Definition U
> Analog das mit der abgeschlossenheit der
> multiplikation mit skalaren
Yes !!
> Gruß
Dito
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
Danke
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Tyskie84 |
Hallo!
Ich wollte mal fragen was falsch an dieser rechnung ist.
U= { [mm] x=(x_{1},x_{2}) \in \IR² [/mm] mit [mm] x_{1}²-x_{2}² [/mm] }
Ist U ein UVR?
Rechnung:
1. U [mm] \not= \emptyset [/mm] denn [mm] \vektor{ 0 \\ 0 } \in [/mm] U
2. mit [mm] \vec{u}= \vektor{ u_{1} \\ u_{2} } \in [/mm] U ist also [mm] u_{1}²-u_{2}²=0 [/mm] , mit v analog
dann ist: [mm] \vec{u} [/mm] + [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \vektor{u_{1}² + v_{1}² \\ -(u_{2}² + v_{2}²) }
[/mm]
3. [mm] \lambda \in \IK [/mm] und [mm] \vec{u} \in [/mm] U
dann gilt [mm] \lambda \vektor{ u_{1}² \\ -u_{2}² } \in [/mm] U
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Sa 19.01.2008 | | Autor: | zahllos |
Die Menge U ist unter der Vektoraddition nicht abgeschlossen.
Wenn u und v aus U sind, so muß man prüfen, ob:
[mm] (u_1 [/mm] + [mm] v_1)^2 [/mm] - [mm] (u_2 [/mm] + [mm] v_2)^2 [/mm] = 0 ist.
Wegen der Voraussetzungen an u und v folgt daraus:
[mm] u_1^2 [/mm] + [mm] 2u_1 v_1 [/mm] + [mm] v_1^2 [/mm] - [mm] u_2^2 [/mm] + 2 [mm] u_2 v_2 [/mm] - [mm] v_2^2 =2u_1 v_1 [/mm] + [mm] 2u_2 v_2 [/mm]
Der letzte Ausdruck muss nicht unbedingt 0 sein !
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