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Untervektorraum: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:35 Di 03.02.2015
Autor: canyakan95

Aufgabe
Ist die Menge Aj ein Untervektorraum von V?
1) x [mm] \in [/mm] V // 3x1-2x2=0
2) x [mm] \in [/mm] V // 3x1-2x2=-2
3) x [mm] \in [/mm] V // 3x1-2x2+x3=0
4)x [mm] \in [/mm] V // x1>=0,x2>=0

Habe die Aufgaben gelöst und bin mir aber net sicher ob ich das richtig gemacht habe. bitte deswegen um ne Korrektur

Zu 1) Ist nicht die leere Menge, da der Nullvektor (0,0) enthalten ist.
seien x,y [mm] \in [/mm] V : (3x1-2x2)=0 und (3y1-2y2)=0, also (x+y) = 0,
(3x1+3y1) + (-2x2-2y2) = 0
Seien s [mm] \in [/mm] K, x [mm] \in [/mm] V : s*(3x1-2x2)=0 // ((s*3x1)-(s*-2x2))= 0
A1 ist ein Untervektorraum

2) Kein untervektorraum, da der nullvektor net enthalten ist, 3*0-2*0=0 [mm] \not= [/mm] 2

3) Der nullvektor ist enthalten (0,0,0)
Seien x,y [mm] \in [/mm] V : (3x1-2x2+x3)=0 und (3y1-2y2+y3)=0 ,also folgt,dass
(3x1+3y1) + (-2x2-2y2) + (x3+y3) = 0
Sei s [mm] \in [/mm] K, x [mm] \in [/mm] V : s*(3x1-2x2+x3) = 0
= (s*3x1) + (s*-2x2) + (s*x3) = 0
A3 ist ein untervekotorraum

4) der nullvektor ist enthalten (0,0), da 0>=0 für x1 und 0>=0 für x2 gilt.
seien x,y [mm] \in [/mm] V : (x+y) = (x1+y1 , x2+y2) [mm] \in [/mm] V , da wegen x1,x2 gilt :
x1>=0 und x2>= 0, also ist die summe von x1+y1>=0 und x2+y2>=0
Sei a [mm] \in [/mm] K und x [mm] \in [/mm] V : Für alle a [mm] \in [/mm] K und x [mm] \in [/mm] V gilt : a*(x1,x2)
= a*x1>=0 und a*x2>=0
A4 ist ein Untervektorraum

Mfg

        
Bezug
Untervektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:58 Di 03.02.2015
Autor: chrisno


> Ist die Menge Aj ein Untervektorraum von V?
>  1) x [mm]\in[/mm] V // 3x1-2x2=0
>  2) x [mm]\in[/mm] V // 3x1-2x2=-2
>  3) x [mm]\in[/mm] V // 3x1-2x2+x3=0
>  4)x [mm]\in[/mm] V // x1>=0,x2>=0
>  Habe die Aufgaben gelöst und bin mir aber net sicher ob
> ich das richtig gemacht habe. bitte deswegen um ne
> Korrektur
>  
> Zu 1) Ist nicht die leere Menge, da der Nullvektor (0,0)
> enthalten ist.

[ok]

>  seien x,y [mm]\in[/mm] V : (3x1-2x2)=0 und (3y1-2y2)=0, also (x+y) = 0,
> (3x1+3y1) + (-2x2-2y2) = 0

nicht richtig aufgeschrieben:
Überprüfung, ob bezüglich der Vektoraddition abgeschlossen
seien x,y [mm]\in[/mm] A1, dann folgt (3x1-2x2)=0 und (3y1-2y2)=0
Damit gilt für x+y: (3x1+3y1) - (2x2+2y2) = (3x1-2x2) + (3y1-2y2) = 0,
Also liegt x+y in A1.

>  Seien s [mm]\in[/mm] K, x [mm]\in[/mm] V : s*(3x1-2x2)=0 //  ((s*3x1)-(s*-2x2))= 0

Wie oben:
Überprüfung, ob bezüglich der Multiplikation mit einem Skalar abgeschlossen.
Seien s [mm]\in[/mm] K, x [mm]\in[/mm] A1, y [mm]\in[/mm] V, dann gilt (3x1-2x2)=0
Damit gilt für y=sx: (3y1-2y2) = (3sx1-2sx2) = s(3x1-2x2) = s * 0 = 0.
Also liegt y in A1.
Da alle drei Bedingungen erfüllt sind gilt.

> A1 ist ein Untervektorraum
>  
> 2) Kein untervektorraum, da der nullvektor net enthalten
> ist, 3*0-2*0=0 [mm]\not=[/mm] 2

[ok]

>  
> 3) Der nullvektor ist enthalten (0,0,0)
>  Seien x,y [mm]\in[/mm] V : (3x1-2x2+x3)=0 und (3y1-2y2+y3)=0 ,also
> folgt,dass
> (3x1+3y1) + (-2x2-2y2) + (x3+y3) = 0
>  Sei s [mm]\in[/mm] K, x [mm]\in[/mm] V : s*(3x1-2x2+x3) = 0
> = (s*3x1) + (s*-2x2) + (s*x3) = 0
>  A3 ist ein untervekotorraum

Schreib es ordentlich auf, dann stimmt es.

>
> 4) der nullvektor ist enthalten (0,0), da 0>=0 für x1 und
> 0>=0 für x2 gilt.
>  seien x,y [mm]\in[/mm] V : (x+y) = (x1+y1 , x2+y2) [mm]\in[/mm] V , da wegen
> x1,x2 gilt :
> x1>=0 und x2>= 0, also ist die summe von x1+y1>=0 und
> x2+y2>=0
>  Sei a [mm]\in[/mm] K und x [mm]\in[/mm] V : Für alle a [mm]\in[/mm] K und x [mm]\in[/mm] V
> gilt : a*(x1,x2)
> = a*x1>=0 und a*x2>=0
> A4 ist ein Untervektorraum

[notok]
Nimm [mm] $\IR$ [/mm] als Körper. Dann kannst Du leicht ein a finden, so dass a*x1<0.


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