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| Aufgabe | Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume der angegebenen Vektorräume?
a) [mm] $\{(x,y)\in \IR^2 | y\ge 0\} \subset \IR^2$,
[/mm]
[mm] b)$\{f:\IR\to\IR|f(x)=f(-x)$ fuer alle $x\in \IR\}\subset\ F(\IR,\IR)$,
[/mm]
[mm] c)$\{f:\IR^5\to\IR,f|_{\IR\times\{0\}\times\IR\times\{0\}\times\IR}=0\}\subset F(\IR^5,\IR)$,
[/mm]
[mm] d)$\{f\in C(\IR),f(0)\in 2\IZ\}\subset C(\IR)$. [/mm] |
hallo,
im skript hab ich folgende Unterraumdefinition gefunden:
i) v+w [mm] \in [/mm] U für alle v,w [mm] \in [/mm] U und
ii) [mm] \lambda*v \in [/mm] U für alle [mm] \lambda \in\IK, [/mm] v [mm] \in [/mm] U
ist das alles was ich für die aufgabe wissen muss?
zu aufgabe a):
[mm] y\ge [/mm] 0 ist die positive winkelhalbierende im kartes. koordinatensyst.
aber wie zeige ich mit hilfe meiner u-raum-def. , dass die menge ein/kein Untervektorraum ist?
gruß
richard
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Hallo richardducat,
> Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume der
> angegebenen Vektorräume?
>
> a) [mm]\{(x,y)\in \IR^2 | y\ge 0\} \subset \IR^2[/mm],
>
> b)[mm]\{f:\IR\to\IR|f(x)=f(-x)[/mm] fuer alle [mm]x\in \IR\}\subset\ F(\IR,\IR)[/mm],
>
> c)[mm]\{f:\IR^5\to\IR,f|_{\IR\times\{0\}\times\IR\times\{0\}\times\IR}=0\}\subset F(\IR^5,\IR)[/mm],
>
> d)[mm]\{f\in C(\IR),f(0)\in 2\IZ\}\subset C(\IR)[/mm].
> hallo,
>
> im skript hab ich folgende Unterraumdefinition gefunden:
>
> i) v+w [mm]\in[/mm] U für alle v,w [mm]\in[/mm] U und
> ii) [mm]\lambda*v \in[/mm] U für alle [mm]\lambda \in\IK,[/mm] v [mm]\in[/mm] U
>
> ist das alles was ich für die aufgabe wissen muss?
fehlt noch [mm] $0\in [/mm] U$, wobei $0$ der Nullvektor aus dem "Ober"raum ist (bzw. äquivalent [mm] $U\neq\emptyset$)
[/mm]
>
> zu aufgabe a):
>
> [mm]y\ge[/mm] 0 ist die positive winkelhalbierende im kartes.
> koordinatensyst.
>
> aber wie zeige ich mit hilfe meiner u-raum-def. , dass die
> menge ein/kein Untervektorraum ist?
Na, eines der 3 Kriterien muss dann verletzt sein, finde etwa zu (ii) ein Gegenbsp.
Nimm dir dazu ein [mm] $(x,y)\in [/mm] U$, also nach Def. von U ist [mm] $(x,y)\in\IR^2$ [/mm] mit [mm] $y\ge [/mm] 0$, sagen wir $(x,y)=(1,1)$
Wie sieht's für [mm] $\lambda=-1\in\IR$ [/mm] nun mit [mm] $\lambda\cdot{}(x,y)$ [/mm] aus?
Ist das noch in U?
Im Allg. ist es so, dass du für den Unterraumnachweis die 3 Kriterien allg. nachrechnen musst, um zu widerlegen, dass U ein UVR ist, genügt es, dass eines der Kriterien verletzt ist, es genügt also, zu einem der drei Kriterien ein Gegenbsp. anzugeben...
Gruß
schachuzipus
>
> gruß
> richard
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