Untersuchung einer gebr. funk. < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hey, ich beschäftige mich momentan mit jener Funktionenschar:
[mm] f_{k}(x)=\bruch{kx}{x^2 +k} k\in [/mm] R [mm] \{0}. [/mm] Hierzu habe ich mehrere Fragen, die ich gerne nach und nach stellen würde.
Meine 1. Frage ist folgende: Ich soll den maximalen Definitionsbereich von [mm] f_{k}(x) [/mm] angeben. und die Funktion dann untersuchen.
Was ist ein maximaler Definitionsbereich? Könnte man maximal nicht theoretisch weglassen? Der Definitionsbereich gibt ja an, was x alles sein darf:
also ich hätte hier geantwortet: [mm] D_{f_{k}}=R [/mm] also praktisch alle Zahlen. Richtig wäre hier aber gewesen, dass man de fall unterscheidung macht, denn für k<0 darf x nicht [mm] \wurzel{-k} [/mm] oder [mm] -\wurzel{-k} [/mm] sein. Das hätte ich jedoch nie aufgeschrieben, denn es ist doch selbstverständlich, dass man bei reellen zahlen nicht die wurzel von einer negativen zahl ziehen darf. Sonst schreibt man das doch auch nie auf. wieso hier? Danke für die kommende Antwort!
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Hallo gebr.rat.Fkt.,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hey, ich beschäftige mich momentan mit jener
> Funktionenschar:
> [mm]f_{k}(x)=\bruch{kx}{x^2 +k} k\in[/mm] R [mm]\{0}.[/mm] Hierzu habe
> ich mehrere Fragen, die ich gerne nach und nach stellen
> würde.
>
> Meine 1. Frage ist folgende: Ich soll den maximalen
> Definitionsbereich von [mm]f_{k}(x)[/mm] angeben. und die Funktion
> dann untersuchen.
> Was ist ein maximaler Definitionsbereich? Könnte man
> maximal nicht theoretisch weglassen? Der Definitionsbereich
> gibt ja an, was x alles sein darf:
Jein, du könntest ja den Definitionsbereich einschränken auf zB. [mm] $\{x\in\IR\mid x>1000\}$, [/mm] also alle reellen Zahlen größer 1000
Maximaler Definitionsbereich entspricht deinem obigen Verständis für Definitionsbereich...
> also ich hätte hier geantwortet: [mm]D_{f_{k}}=R[/mm] also
> praktisch alle Zahlen. Richtig wäre hier aber gewesen, dass
> man de fall unterscheidung macht, denn für k<0 darf x nicht
> [mm]\wurzel{-k}[/mm] oder [mm]-\wurzel{-k}[/mm] sein. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Das hätte ich jedoch
> nie aufgeschrieben, denn es ist doch selbstverständlich,
> dass man bei reellen zahlen nicht die wurzel von einer
> negativen zahl ziehen darf.
Das stimmt, aber das tut ja auch hier keiner !!
Wenn $k<0$ ist, dann ist doch $-k>0$
Also ziehst du mit [mm] $\pm\sqrt{-k}$ [/mm] die Wurzel aus einer positiven Zahl !!
Nehmen wir ein konkretes Bsp. für k, sagen wir [mm] $\red{k=-4}<0$
[/mm]
Dann ist [mm] $\sqrt{\blue{-}\red{k}}=\sqrt{\blue{-}\red{(-4)}}=\sqrt{4}$
[/mm]
Also hat für k<0 der Nenner die Nullstellen [mm] $x^2+k=0\Rightarrow x_{1,2}=\pm\sqrt{-k}$
[/mm]
ok?
> Sonst schreibt man das doch
> auch nie auf. wieso hier? Danke für die kommende Antwort!
Jo
Gruß
schachuzipus
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Und warum sollte man davon dann nicht die wurzel ziehen dürfen, wenn k also doch positiv ist, müsste man dann nicht saagen, dass für k>0 x nich [mm] \wurzel{-k} [/mm] oder [mm] -\wurzel{-k} [/mm] sein darf? wobei das ja wieder überflüssig wäre. da es selbstverständlich ist. !?
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Hi,
es ist ja in dem 2.Fall $k$ negativ
Also kannst du [mm] \sqrt{k} [/mm] nicht ziehen, darum ja auch [mm] \sqrt{-k}, [/mm] denn -k ist positiv
Ich schreib mal die Fallunterscheidung ausführlicher auf:
Es ist lt. Aufgabenstellung [mm] $k\in\IR\backslash\{0\}$
[/mm]
Wir müssen nun schauen, für welche x der Nenner 0 ist und diese dann herausnehmen!
Das ist der Fall, wenn [mm] $x^2+k=0$, [/mm] also wenn [mm] $\red{x^2=-k}$
[/mm]
Also 1.Fall: $k>0$
Dann ist $-k<0$ [mm] \qquad [/mm] klar, oder?
Also steht in der roten Gleichung [mm] $\red{x^2=\text{etwas Negatives}}$
[/mm]
Das geht aber für kein reelles x der Welt
Also bereitet uns der 1.Fall im Hinblick auf Nullstellen des Nenners keine Probleme, es gibt keine
2.Fall: $k<0$
Dann ist $-k>0$
Dann haben wir die Gleichung [mm] $\red{x^2=\underbrace{-k}_{\text{etwas Positives!}}}$
[/mm]
Und bei [mm] $\red{x^2=\text{etwas Positives}}$ [/mm] kann man doch die Wurzel ziehen
Also [mm] $x^2=-k\mid \sqrt{...}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x=\sqrt{-k}\vee x=-\sqrt{-k}$
[/mm]
Das heißt, im 2.Fall (k<0 , also -k>0) gibt es sehr wohl Nullstellen des Nenners, nämlich [mm] $x_1=\sqrt{-k}, x_2=-\sqrt{-k}$
[/mm]
Die muss man dann rausnehmen, da ja die Division durch 0 nicht erlaubt ist.
Ich hoffe, es wird nun etwas klarer 
LG
schachuzipus
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Dank Dir für die schöne Erklärung! Ich hatte nicht darüber nachgedacht, dass der Nenner nicht Null sein darf und man jene x-werte herausnehmen muss. Nun ist es klar.
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Nun zu meiner 2. Frage:
nun soll ich zwei funktionen aus der schar herauspicken. für k soll einmal
-1 und 1 eigegeben werden.
es entstehen die Funktionen: [mm] f_{1}(x)= \bruch{x}{x^2 +1} [/mm] und
[mm] f_{-1}(x)= \bruch{-x}{x^2 -1} [/mm]
Hierzu habe ich folgende Aufgabe: Zeigen Sie, dass der Abstand zwischen den Funktionswerten im Intervall I=[0 ; 0,5] für wachsendes x immer größer wird.
Was wird hiermit gemeint? Wird der Abstand der Funktionswerte zwischen den beiden Funktionen gemeint(was auch immer dies wieder bedeuten mag)? oder wird hiermit einfach gemeint, dass beide Funktionen streng monoton wachsend sind?
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> Nun zu meiner 2. Frage:
> nun soll ich zwei funktionen aus der schar herauspicken.
> für k soll einmal
> -1 und 1 eigegeben werden.
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> es entstehen die Funktionen: [mm]f_{1}(x)= \bruch{x}{x^2 +1}[/mm]
> und
> [mm]f_{-1}(x)= \bruch{-x}{x^2 -1}[/mm]
> Hierzu habe ich folgende Aufgabe: Zeigen Sie, dass der
> Abstand zwischen den Funktionswerten im Intervall I=[0 ;
> 0,5] für wachsendes x immer größer wird.
>
> Was wird hiermit gemeint? Wird der Abstand der
> Funktionswerte zwischen den beiden Funktionen gemeint(was
> auch immer dies wieder bedeuten mag)? oder wird hiermit
> einfach gemeint, dass beide Funktionen streng monoton
> wachsend sind?
Hey,
also mit Funktionswerten bezeichnet man die y-Werte. Hier heißt es also konkret das der Abstand der y-Werte immer größer wird, wenn du verschiedene x aus [0,1/2] in die beiden Funktionen einsetzt.
Um dies zu Beweisen, solltest du mal die Differenz der beiden Funktionswerte anschauen. Also [mm] f_{1}(x)-f_{-1}(x)=\bruch{x}{x^2 +1}-\bruch{-x}{x^2 +1}=\bruch{2x}{x^2 +1}
[/mm]
Was kannst du jetzt über diese Differenzfunktion sagen!? Sie soll ja zunehmen für steigende x-Werte...
Gruß Patrick
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Hi danke erst einmal für die Antwort. Meine Frage war eher, welche Funktionswerte gemeint sind. Also ist mit der Frage: " Zeigen Sie, dass der Abstand zwischen den Funktionswerten im Intervall [0 ; 0,5] für wachsendes x immer größer wird" gemeint, dass der Abstand zwischen den y-werten der jeweiligen Funktionen größer wird, also der Funktionswert von [mm] f_{-1} [/mm] für x gegen Null noch näher an dem funktionswert von [mm] f_{1} [/mm] für x gegen 0 liegt als der Funktionswert von
[mm] f_{1} [/mm] für x gegen 0,5zum Funktionswert von [mm] f_{-1} [/mm] für x gegen 0,5?
Oder wird damit gemeint, dass der Abstand zwischen den Funkrionswerten JEWEILS für jede Funktion immer größer wird. Also z.B. der Abstand zwischen den Funktionswerten für x=0,1 und x=0,2 für [mm] f_{-1} [/mm] kleiner ist als der Abstand der Funktionswerte für x=0,3 und x=0,4 für
[mm] f_{-1} [/mm] ?
Ich hoffe, dass man mich einigermaßen vestehen kann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 Fr 04.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Mal die 2 Funktionen, oder ne Skizze dazu auf, nur zwischen x=0 und x=0,5
Die Behauptung ist jetzt dass die Striche parallel zur y Achse, zwischen den 2 Funktionen nach rechts immer länger werden!
z.Bsp [mm] f_{-1}(0,1)-f_1(0,1)
mit x gegen 0 hat das nix zu tun!
Gruss leduart
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Danke, ich denke ich weiß nun, was gemeint ist. Die Differenz müsste einfach immer größer werden, denn die Funktionen trennen sich voneinander. Der abstand/differenz wächst.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Fr 04.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo gebrochenrationaleFunktion!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Genau!
Gruß
Loddar
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