Untersuchung auf Konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:27 So 07.11.2004 | | Autor: | Wanja |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo! Ich habe ein Problem mit meinen Übungsaufgaben. Ich soll diese Folgen auf Konvergenz untersuchen:
(a) [mm] \bruch{1-(1-1/n)^5}{1-(1-1/n)^2}
[/mm]
(b) produkt von k=2 bis n: [mm] 1-\bruch{1}{k^2}
[/mm]
Wenn ich den Grenzwert finde, wäre das dann schon eine Untersuchung auf Konvergenz oder gehört da mehr dazu? Der Taschenrechner sagt bei (a) dass der Grenzwert bei etwa 2,5 liegen muss, aber darauf bin ich rechnerisch nicht gekommen. Ich habe nur lauter Nullfolgen erhalten. Bei (b) weiß ich gar nicht was ich machen soll, denn eine Folge mit Produktzeichen habe ich noch nie untersucht. Kann mir jemand helfen???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:58 So 07.11.2004 | | Autor: | ChryZ |
zu (b)
Versuch mal 1 - [mm] \bruch {1}{k^2} [/mm] auf einen Nenner zu bringen und schreib dann mal die ersten paar Terme der Potenz hin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 So 07.11.2004 | | Autor: | Wanja |
Ich habe die ersten Terme dieser Potenz schon einmal hingeschrieben, an dieser Stelle bin ich dann nicht mehr weitergekommen. Kann mir jemand bei Aufgabe (a) bzw. (b) weiterhelfen????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 So 07.11.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo Wanja!
Zuerst würde ich substituieren:
u = 1 - [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
und dann schreiben:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1- (1 - \bruch{1}{n})^{5}}{1 - (1 - \bruch{1}{n})^{2}} [/mm] = [mm] \limes_{u\rightarrow 1} \bruch{1 - u^{5}}{1 - u^{2}}
[/mm]
Nun bedienen wir uns der Identitäten:
1 - [mm] u^{5} [/mm] = (1 - u)(1 + u + [mm] u^{2} [/mm] + [mm] u^{3} [/mm] + [mm] u^{4})
[/mm]
1 - [mm] u^{2} [/mm] = (1 - u)(1 + u)
und erhalten damit:
= [mm] \limes_{u\rightarrow 1} \bruch{1 + u + u^{2} + u^{3} +u^{4}}{1 + u} [/mm] = [mm] \bruch{5}{2} [/mm] = 2.5
Gruß Clemens
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:05 So 07.11.2004 | | Autor: | Wanja |
Hey, die Idee mit den Substituieren war gut. Vielen Dank, dass du dir Zeit für mein Problem genommen hast. 1000 Küsse, Wanja!!!!!!
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