Untersuchung auf Konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 Do 24.11.2005 | | Autor: | t1no |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Habe hier eine rekursive Folge vor mir liegen und soll diese auf Konvergenz, also u.a. auch auf Monotonie untersuchen!
[mm] a_{1} [/mm] = 1,
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{1+a_{n}} [/mm]
n [mm] \in \IN
[/mm]
Habe die ersten a ausgerechnet und bin zu der Vermutung gekommen, dass die Folge str. monoton wachsend ist!
Als Beweis wollte ich wie folgt vorgehen:
[mm] a_{n+1} \ge a_{n}
[/mm]
Aufgelöst sähe das meiner Meinung nach so aus:
[mm] \wurzel{1+ \wurzel{1+a_{n}}} [/mm] > [mm] \wurzel{1+a_{n}}
[/mm]
weiter aufgelöst ergibt sich dann :
1 > [mm] a_{n}^{2}-a_{n}
[/mm]
Hieraus kann ich aber leider nicht erkennen ob die Folge wirklich str. mon. steigend ist?!
Kann das jemand erläutern?
zur Beschränktheit der Folge:
Um zu testen, ob die Folge beschränkt ist, benutze ich diese Folge, für K [mm] \in \IR [/mm] .
[mm] \Rightarrowa_{n} \le [/mm] K
[mm] \gdw\wurzel{1+a_{n-1}} \le [/mm] K
[mm] \gdw 1+a_{n-1} \le K^{2}
[/mm]
Den Term [mm] 1+a_{n-1} [/mm] kann ich folgendermaßen nach oben abschätzen, vorrausgesetzt, die Folge ist str. mon. wachsend, was ich nur nicht zeigen kann!
[mm] 1+a_{n-1} \le 1+a_{n} \le [/mm] K
Dann würde umgeformt da ja stehen: K [mm] \ge \wurzel_{1+a_{n}}
[/mm]
So, und ab jetzt möchte ich gerne wissen ob meine Idee richtig ist;)
Ich habe jetzt nochmal angenommen, dass [mm] a_{n} \le [/mm] K ist
Das hätte zur Folge, dass ich das [mm] a_{n} [/mm] nochmal nach oben abschätzen kann, also würde da insgesamt stehen:
K [mm] \ge \wurzel_{1+K}
[/mm]
Umgerechnet würde für K folgendes rauskommen:
K [mm] \ge \bruch{{\wurzel_{5}}+1}{2}
[/mm]
Eine obere Schranke ist also z.B. K=2.
Stimmt das so?!?!
Danke für die Hilfe & Ciao
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 Do 24.11.2005 | | Autor: | suo |
Zur Monotonie.
Du kannst ja erstmal davon ausgehen, dass [mm]a_n > 0[/mm] ist, da alle Wurzeln positiv sind.
Also ist [mm] \wurzel{1+a_n} [/mm] auch > 1. Und das ist alles was du zeigen willst da [mm] \wurzel{1+\wurzel{1+a_n}}> \wurzel{1+a_n}[/mm] nach einmaligem quadrieren und danach subtrahieren von 1 genau diese Gleichung ergibt...
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