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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:07 Mo 15.01.2007 | | Autor: | Rudy |
| Aufgabe | Betrachte den Vektorraum [mm] $\mathbb R^{\mathbb R}$ [/mm] aller Abbildung $f: [mm] \mathbb [/mm] R [mm] \rightarrow \mathbb [/mm] R$
Für welche $c, [mm] x_0 \in \mathbb [/mm] R ist [mm] M_{c,x_0}:={f \in \mathbb R^{\mathbb R} : f(x_0) = c} \; ein\; Unterraum\; von\; \mathbb R^{\mathbb R}?$ [/mm] |
Hallo.
Die Kriterien eines Unterraums lauten
I $0 [mm] \in [/mm] M$
II $u,v [mm] \in [/mm] M [mm] \Rightarrow [/mm] u+v [mm] \in [/mm] M$
III [mm] $\lambda \in \mathbb [/mm] K, u [mm] \in [/mm] M [mm] \Rightarrow \lambda [/mm] u [mm] \in [/mm] M$
Null soll in M sein, also muss doch schon gelten
I [mm] $f(x_0) [/mm] = 0 [mm] \in [/mm] M$
Woraus ich entnehmen kann, dass c = 0 sein muss.
II) Statt u und v kann ich ja auch sagen, [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2
[/mm]
[mm] $c_1,c_2\in [/mm] M, [mm] c_1+c_2 \in [/mm] M$
Das gilt aber auch nur für$ [mm] c_1=c_2=c=0$
[/mm]
[mm] $III)\; \lambda [/mm] * c = [mm] \lambda*0 [/mm] = 0 [mm] \in [/mm] M$
Und was ist hier mit dem [mm] x_0? [/mm] Ich würde sagen, [mm] x_0 [/mm] ist beliebig, c=0.
Gruss
Rudy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:35 Mo 15.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hi Rudy,
ich glaube du verwechselst da noch ein bischen was.
Dein UVR soll ein Raum von Abbildungen sein, nicht von Funktionswerten.
Also deine "Vektoren" sind die ganzen Abbildungen, nicht deren spezielle Funktionswerte bei [mm] x_0 [/mm] oder so..
> Null soll in M sein, also muss doch schon gelten
>
> I [mm]f(x_0) = 0 \in M[/mm]
>
> Woraus ich entnehmen kann, dass c = 0 sein muss.
naja - die NullABBILDUNG muss im UVR sein, deshalb muss zumindest für diese Abbildung das Bild von [mm] x_0 [/mm] gleich 0 sein, also ist c=0 ...
>
> II) Statt u und v kann ich ja auch sagen, [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm]
>
> [mm]c_1,c_2\in M, c_1+c_2 \in M[/mm]
>
hier das gleiche, vergiss unterschiedliche c , du musst unterschiedliche Abbildungen g unf f betrachten mit [mm] $f(x_0)=g(x_0)=c$
[/mm]
was ist dann [mm] (f+g)(x_0) [/mm] ?!?
> [mm]III)\; \lambda * c = \lambda*0 = 0 \in M[/mm]
richtig muss es heißen:
[mm] $(\lambda *f)(x_0)=f^{\lambda}(x_0)=c=0\ldots [/mm] $
(hier bekommst du auch eine Einschränkung für [mm] x_0 [/mm] her ....)
versuchst du dich nochmal ?
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Di 16.01.2007 | | Autor: | Rudy |
Hoi.
> >
> > I [mm]f(x_0) = 0 \in M[/mm]
> >
> > Woraus ich entnehmen kann, dass c = 0 sein muss.
>
> naja - die NullABBILDUNG muss im UVR sein, deshalb muss
> zumindest für diese Abbildung das Bild von [mm]x_0[/mm] gleich 0
> sein, also ist c=0 ...
Ja, c=0
> > II) Statt u und v kann ich ja auch sagen, [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm]
> >
> > [mm]c_1,c_2\in M, c_1+c_2 \in M[/mm]
> >
>
> hier das gleiche, vergiss unterschiedliche c , du musst
> unterschiedliche Abbildungen g unf f betrachten mit
> [mm]f(x_0)=g(x_0)=c[/mm]
> was ist dann [mm](f+g)(x_0)[/mm] ?!?
[mm] (f+g)(x_0) [/mm] = [mm] f(x_0)+g(x_0) [/mm] = c+c = 2c [mm] \in [/mm] M
Und was ist mit meinem c=0. Soll ich jetzt schreiben 2c=0 [mm] \in [/mm] M?
> > [mm]III)\; \lambda * c = \lambda*0 = 0 \in M[/mm]
>
> richtig muss es heißen:
> [mm](\lambda *f)(x_0)=f^{\lambda}(x_0)=c=0\ldots[/mm]
> (hier
Warum ist das lambda als Exponent?
> bekommst du auch eine Einschränkung für [mm]x_0[/mm] her ....)
>
> versuchst du dich nochmal ?
Wenn c gleich Null sein muss, dann muss auch [mm] x_0 [/mm] gleich Null sein, weil eine beliebige Zahl ungleich Null hoch lambda ist nicht Null, soll aber Null sein.
Hm, irgendwie ist das ja quark?
Hilfst du (oder jemand anders) mir noch mal?
Rudy
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> > > I [mm]f(x_0) = 0 \in M[/mm]
> > >
> > > Woraus ich entnehmen kann, dass c = 0 sein muss.
> >
> > naja - die NullABBILDUNG muss im UVR sein, deshalb muss
> > zumindest für diese Abbildung das Bild von [mm]x_0[/mm] gleich 0
> > sein, also ist c=0 ...
>
> Ja, c=0
Hallo,
das bedeutet, daß man für [mm] c\not=0 [/mm] fertig ist, weil es in diesem Falle niemals mehr ein Vektorraum sein kann.
Du brauchst also im folgenden nur noch c=0 zu betrachten:
>
> > > II) Statt u und v kann ich ja auch sagen, [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm]
> > >
> > > [mm]c_1,c_2\in M, c_1+c_2 \in M[/mm]
> > >
> >
> > hier das gleiche, vergiss unterschiedliche c , du musst
> > unterschiedliche Abbildungen g unf f betrachten mit
> > [mm]f(x_0)=g(x_0)=c[/mm]
> > was ist dann [mm](f+g)(x_0)[/mm] ?!?
>
> [mm](f+g)(x_0)[/mm] = [mm]f(x_0)+g(x_0)[/mm] = c+c = 2c [mm]\in[/mm] M
>
> Und was ist mit meinem c=0. Soll ich jetzt schreiben 2c=0
Ja, denn Du betrachtest ja nur noch c=0.
Und weil [mm] (f+g)(x_0)=0 [/mm] ist f+g [mm] \in M_{x_0,0}
[/mm]
> [mm]\in[/mm] M?
>
> > > [mm]III)\; \lambda * c = \lambda*0 = 0 \in M[/mm]
> >
> > richtig muss es heißen:
> > [mm](\lambda *f)(x_0)=f^{\lambda}(x_0)=c=0\ldots[/mm]
> > (hier
>
> Warum ist das lambda als Exponent?
Das kommt nun darauf an, welche Verknüpfungen Ihr für t $ [mm] \mathbb R^{\mathbb R} [/mm] $ definiert habt. Du hast es uns nicht verraten...
Aber ich denke mal so: [mm] (\lamba [/mm] f)(x):= [mm] \lambda [/mm] f(x). Stimmt's?
Wenn das so ist, mußt Du gucken, ob [mm] \lambda [/mm] f [mm] \in M_{x_0,0}.
[/mm]
Wie? Ist [mm] 0=(\lambda f)(x_0) [/mm] ?
Gruß v. Angela
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