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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 So 14.01.2007 | | Autor: | Rudy |
| Aufgabe | Betrachte den Vektorraum [mm] $\mathbb R^{\mathbb R}$ [/mm] aller Abbildung $f: [mm] \mathbb [/mm] R [mm] \rightarrow \mathbb [/mm] R$
Zeigen Sie, dass die Menge der geraden Funktionen auf R
[mm] g=\{ f\in R^R:f(-x)=f(x)\} [/mm] einen Unterraum von [mm] R^R [/mm] bildet. |
Hallo
Die Unterraumkriterien sind ja
0 [mm] \in [/mm] G
u,v [mm] \in [/mm] G [mm] \Rightarrow [/mm] u+v [mm] \in [/mm] G
[mm] \lambda \in \mathbb [/mm] K, u [mm] \in [/mm] M [mm] \Rightarrow \lambda [/mm] u [mm] \in [/mm] G
Ich versuche das mal, alles abzuarbeiten, vermutlich wird das aber nichts.
0 [mm] \in [/mm] G. Irgendwie versteh ich das nicht, 0 ist doch der Y-Wert, den f(x) annimmt. Aber nicht jede Funktion nimmt den Wert an, also muss gelten f(0) [mm] \in [/mm] G? Oder wie?
f(u)+f(v), [mm] u,v\in [/mm] G. f(u)+f(v) = f(-u)+f(-v). Wenn ich das jetzt auf die andere Seite bringe, dann ergibt sich doch eben die Null.
Also folgt aus meinem zweiten Kriterium das erste?
f(u)+f(v) = f(-u)+f(-v)
f(u)+f(v) - (f-u) - f(-v) = 0 [mm] \in [/mm] G
[mm] \lambda*f(u) \in [/mm] G.
Weiß aber nicht, warum das so ist. Weil f(x) ins Unendliche oder ins minus Unendliche geht, oder wie?
Gruss
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Hey!
Ich versuch's einmal. Ich hoffe ein älterer Semester kann mich bestätigen.
Wir schauen uns die Funktionen an, die achsensymmetrisch sind, d.h. z.B. [mm] f(x)=x^{2} [/mm] oder [mm] g(x)=4x^4+3x^{2}
[/mm]
1.) Der U-Raum ist nicht leer.
Nehmen wir das neutrale Element, nämlich f(x)= 0
Es gilt also: f(x)=0=f(-x). Das Nullelement ist also enthalten.
2.) f(x) und g(x) im U-Raum => die Addition der beiden Funktion ist auch Element im U-Raum.
Wie addiert man Funktionen?
So: f(x)+g(x)= (f+g)(x)
(f+g)(x)= f(x) + g(x) = f(-x) + g(-x) = (f+g)(-x).
Die Addition von zwei geraden Funktionen ist also auch im Untervektorraum.
3.) Skalare Mulitplikation:
[mm] (\lambda*f)(x)= \lambda [/mm] *(f(x))= [mm] \lambda [/mm] f(-x) = [mm] (\lambda [/mm] f(-x)).
Damit wäre das auch gezeigt und wir haben demonstriert, dass alle geraden Funktionen (f(x)=f(-x)) einen Untervektorraum bilden.
Kann jemand bestätigen? Ich habe diesen Stoff vor 2 Monaten gemacht und kann mich nicht mehr recht entsinne.
Ciao
GorkyPArk
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:13 So 14.01.2007 | | Autor: | Sigrid |
Hallo GorkiPArk
Ich hätte es genauso gemacht.
>
> 3.) Skalare Mulitplikation:
>
> [mm](\lambda*f)(x)= \lambda[/mm] *(f(x))= [mm]\lambda[/mm] f(-x) = [mm](\lambda[/mm] f(-x)).
Hier musst du nur andersa klammern:
[mm](\lambda*f)(x)= \lambda[/mm] *(f(x))= [mm]\lambda[/mm] f(-x) = [mm](\lambda f)(-x) [/mm].
>
> Damit wäre das auch gezeigt und wir haben demonstriert,
> dass alle geraden Funktionen (f(x)=f(-x)) einen
> Untervektorraum bilden.
>
> Kann jemand bestätigen? Ich habe diesen Stoff vor 2 Monaten
> gemacht und kann mich nicht mehr recht entsinne.
Du erinnerst dich offensichtlich noch sehr gut
Gruß
Sigrid
>
> Ciao
>
> GorkyPArk
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:05 Mo 15.01.2007 | | Autor: | Rudy |
Ich danke euch für die Hilfestellung
Rudy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Mo 15.01.2007 | | Autor: | Rudy |
| Aufgabe | Betrachte den Vektorraum $ [mm] \mathbb R^{\mathbb R} [/mm] $ aller Abbildung $ f: [mm] \mathbb [/mm] R [mm] \rightarrow \mathbb [/mm] R $
$ [mm] G=\{ f\in R^R:f(-x)=f(x)\} [/mm] $
$ [mm] U=\{ f\in R^R:f(-x)=-f(x)\} [/mm] $
Gezeigt wurde, dass G einen Unterraum von [mm] R^R [/mm] bildet.
Zu zeigen: [mm] R^R [/mm] = G [mm] \oplus [/mm] U |
Hi.
Also zu zeigen ist hier jetzt ja etwas mit der direkten Summe. dafür muss ja prinzipiell gelten:
v= u+w mit u [mm] \in [/mm] U, [mm] w\in [/mm] W.
U schneidet W = [mm] \{0\}
[/mm]
hier kann ich also ein w [mm] \in [/mm] G und ein u [mm] \in [/mm] U.
Die geraden Funktion der Form [mm] a_2x^2+a_4x^4+... [/mm] und ungeraden [mm] a_1x+a_3x^3+... [/mm] schneiden sich ja in x=0
Also ist das Schnittkriterium erfüllt.
Was aber machen bei v=u+w?
w = [mm] f_1(x_0)
[/mm]
u = [mm] -f_2(x_0)
[/mm]
[mm] v=f_1(x_0)-f_2(x_0)
[/mm]
???
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> Betrachte den Vektorraum [mm]\mathbb R^{\mathbb R}[/mm] aller
> Abbildung [mm]f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R[/mm]
>
> [mm]G=\{ f\in R^R:f(-x)=f(x)\}[/mm]
>
> [mm]U=\{ f\in R^R:f(-x)=-f(x)\}[/mm]
>
> Gezeigt wurde, dass G einen Unterraum von [mm]R^R[/mm] bildet.
> Zu zeigen: [mm]R^R[/mm] = G [mm]\oplus[/mm] U
> Also zu zeigen ist hier jetzt ja etwas mit der direkten
> Summe. dafür muss ja prinzipiell gelten:
>
> v= u+w mit u [mm]\in[/mm] U, [mm]w\in[/mm] W.
>
> U schneidet W = [mm]\{0\}[/mm]
Hallo,
das ist soweit richtig.
>
> hier kann ich also ein w [mm]\in[/mm] G und ein u [mm]\in[/mm] U.
???
>
> Die geraden Funktion der Form [mm]a_2x^2+a_4x^4+...[/mm] und
> ungeraden [mm]a_1x+a_3x^3+...[/mm] schneiden sich ja in x=0
>
> Also ist das Schnittkriterium erfüllt.
Nein, das bist Du auf dem falschen Dampfer.
Zum einen beinhaltet [mm]\mathbb R^{\mathbb R}[/mm] keinesfalls nur Polynome! Es ist der Raum aller Funktionen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR.
[/mm]
Mach Dir noch einmal klar: was die Elemente dieses Raumes und seiner Unterraume sind: Funktionen.
Wenn Du zeigen willst, daß der Schnitt [mm] =\{0\}, [/mm] was prinzipiell richtig ist, mußt Du Dir zuerst überlegen, was "0" hier bedeutet: das neutrale Element bzgl. + im Raum der Funktionen.
Welche Funktion ist das, die man addieren kann, ohne daß sich etwas ändert? Die Funktion, die alles auf die Null abbildet, die Funktion f, für welche f(x)=0 für alle x.
Ich hoffe, daß Dir allmählich aufgeht, daß das mit Schnittpunkten von Polynomen wenig zu tun hat.
Jetzt schauen wir uns eine Funktion n an, welche im Schnitt von G und U liegt.
Für alle x ist n(-x)=n(x) und n(-x)=-n(x).
Was folgt daraus?
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Für [mm]R^R[/mm] = G [mm]\oplus[/mm] U mußt Du nun zeigen, daß Du jede beliebige reelle Funktion f als Summe einer geraden und einer ungeraden darstellen kannst.
Ich will hier andeuten, wie Du das machen kannst.
Sei f [mm] \in[/mm] [mm]R^R[/mm].
Def. [mm] g_1,g_2, u_1, u_2 [/mm] mit
[mm] g_1(x)=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } x \ge 0 \mbox{ } \\ .. , & \mbox{für } x=0 \mbox{ }\\ f(-x), & \mbox{für } x \le 0 \mbox{ }\end{cases}
[/mm]
[mm] g_2(x)=\begin{cases} f(-x), & \mbox{für } x \ge 0 \mbox{ } \\ .. , & \mbox{für } x=0 \mbox{ }\\ f(x), & \mbox{für } x \le 0 \mbox{ }\end{cases}
[/mm]
[mm] u_1(x)=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } x \ge 0 \mbox{ } \\ .. , & \mbox{für } x=0 \mbox{ }\\ -f(-x), & \mbox{für } x \le 0 \mbox{ }\end{cases}
[/mm]
[mm] u_2(x)=\begin{cases} -f(-x), & \mbox{für } x \ge 0 \mbox{ } \\ .. , & \mbox{für } x=0 \mbox{ }\\ f(x), & \mbox{für } x \le 0 \mbox{ }\end{cases}
[/mm]
Wenn Du diese Funkionen addierst, kommst Du schon "in die Nähe" der Funktion f.
Gruß v. Angela
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