Unterräume bestimmen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Welche der folgenden Mengen U ist ein Unterraum des [mm] \IR-Verktorraumes [/mm] V?
a)
[mm] V=\IR^3 [/mm] und U = [mm] \vektor{x \\ y \\ z} \in \IR^3: [/mm] x+2y+5z=0 und 2x-y-2z=1
b)
[mm] V=\IR^3 [/mm] und U = [mm] \vektor{x \\ y \\ z} \in \IR^3: [/mm] x+2y+5z=0 und 2x-y-2z=0
c)
[mm] V=\IR^2 [/mm] und U = [mm] \vektor{x \\ y} \in \IR^2: [/mm] xy=0 |
Hallo,
ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe. Leider hab ich keine Ahnung wie ich hier Anfangen soll.
Die Bedingungen für einen Unterraum sind:
- U [mm] \not= \emptyset
[/mm]
- Abgeschlossenheit bzgl. Skalaraddition
- Abgeschlossenheit bzgl. Skalarmultiplikation
Ich wäre sehr dankbar für eure Hilfe!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo King-LA-Gold und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Welche der folgenden Mengen U ist ein Unterraum des
> [mm]\IR-Verktorraumes[/mm] V?
> a)
> [mm]V=\IR^3[/mm] und U = [mm]\vektor{x \\
y \\
z} \in \IR^3:[/mm] x+2y+5z=0 und 2x-y-2z=1
> b) [mm]V=\IR^3[/mm] und U = [mm]\vektor{x \\
y \\
z} \in \IR^3:[/mm] x+2y+5z=0 und 2x-y-2z=0
> c)
> [mm]V=\IR^2[/mm] und U = [mm]\vektor{x \\
y} \in \IR^2:[/mm] xy=0
> Hallo,
> ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe. Leider hab ich keine
> Ahnung wie ich hier Anfangen soll.
> Die Bedingungen für einen Unterraum sind:
> - U [mm]\not= \emptyset[/mm]
> - Abgeschlossenheit bzgl.
> Skalaraddition
> - Abgeschlossenheit bzgl. Skalarmultiplikation
Unter 2 muss doch Abgeschlossenheit bzgl. Vektoraddition stehen ...
>
> Ich wäre sehr dankbar für eure Hilfe!!!
Naja, du musst halt die Bedingungen nachweisen oder halt (mindestens) eine widerlegen, um zu zeigen bzw. zu widerlegen, dass du einen Unterraum vorliegen hast.
Die erste Bedingung [mm]U\neq\emptyset[/mm] ist äquivalent dazu, dass der Nullvektor in U enthalten ist.
Mit dieser Erkenntnis schaue dir mal die erste Menge an.
Bei der zweiten rechne die 3 Bedingungen nach.
Wie lauten die (letzten) beiden in Formeln?
Einfach einsetzen und stur nachrechnen ...
Bei c) bedenke, dass etwa die Vektoren [mm]\vec{x}=\vektor{1\\
0}[/mm] und [mm]\vec y=\vektor{0\\
1}[/mm] in U enthalten sind, denn [mm]1\cdot{}0=0[/mm] und [mm]0\cdot{}1=0[/mm]
Dann schaue mal scharf auf Bedingung 2 für einen Unterraum ...
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Schonmal danke!!!
Also ich hab mal mit a) angefangen bin mir aber nicht sicher ob das soweit stimmt und wie ich weiter machen soll...
Vektoraddition:
Sei [mm] v=\vektor{x1 \\ x2 \\x3} [/mm] und [mm] u=\vektor{y1 \\ y2 \\y3} \in [/mm] U.
[mm] \Rightarrow v+u=\vektor{x1+y1 \\ x2+y2 \\x3+y3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (x1+y1)+2(x2+y2)+5(x3+y3)=0 und 2(x1+y1)-(x2+y2)+2(x3+y3)=1
Ist das so richtig? Und Wie mach ich weiter?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Schonmal danke!!!
> Also ich hab mal mit a) angefangen bin mir aber nicht
> sicher ob das soweit stimmt und wie ich weiter machen
> soll...
>
> Vektoraddition:
> Sei [mm]v=\vektor{x1 \\
x2 \\
x3}[/mm] und [mm]u=\vektor{y1 \\
y2 \\
y3} \in[/mm]
> U.
> [mm]\Rightarrow v+u=\vektor{x1+y1 \\
x2+y2 \\
x3+y3}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] (x1+y1)+2(x2+y2)+5(x3+y3)=0 und
> 2(x1+y1)-(x2+y2)+2(x3+y3)=1
>
> Ist das so richtig? Und Wie mach ich weiter?
Du müsstest prüfen, ob das gilt, was oben steht. Also nachrechnen.
Aber das ist völlig unnötig!
Den Tipp, dass [mm]U\neq\emptyset[/mm] äquivalent zu [mm]\vec{0}\in U[/mm] ist, habe ich nicht umsonst gegeben.
Es ist nämlich [mm]\vec 0=\vektor{0\\
0\\
0}\notin U[/mm]
Er erfüllt doch [mm]2x_1-x_2+2x_3=1[/mm] nicht. Es ist [mm]2\cdot{}0-0+2\cdot{}0=0\neq 1[/mm]
Damit liegt der Nullvektor nicht in U, also ist U kein Unterraum
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
a)
U ist kein Unterraum von V, da [mm] \vec 0=\vektor{0\\ 0\\ 0} \notin [/mm] U, denn 2*0-0-2*0 [mm] \not= [/mm] 1.
b)
Skalarmultiplikation:
Sei [mm] \lambda \in \IR [/mm] und [mm] v=\vektor{x1 \\ x2 \\x3} \in [/mm] U.
[mm] \Rightarrow \lambda [/mm] (x1+2x2+5x3)=0 und [mm] \lambda [/mm] (2x1-x2-2x3)=0
[mm] \Rightarrow \lambda*0=0 \Rightarrow \lambda*v \in [/mm] U
Vektoraddition:
Sei [mm] u=\vektor{y1 \\ y2 \\y3} \in [/mm] U.
[mm] \Rightarrow v+u=\vektor{x1+y1 \\ x2+y2 \\x3+y3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (x1+y1)+2(x2+y2)+5(x3+y3)=0 und 2(x1+y1)-(x2+y2)-2(x3+y3)=0
[mm] \Rightarrow [/mm] (1+1)+2(-8-8)+5(3+3)=0 und 2(1+1)-(-8-8)-2(3+3)=0
[mm] \Rightarrow [/mm] v+u [mm] \in [/mm] U
[mm] \Rightarrow [/mm] U ist Unterraum von V.
Stimmt das jetzt soweit?
|
|
|
| |
|
Hallo King-LA-Gold,
> a)
> U ist kein Unterraum von V, da [mm]\vec 0=\vektor{0\\ 0\\ 0} \notin[/mm]
> U, denn 2*0-0-2*0 [mm]\not=[/mm] 1.
>
> b)
> Skalarmultiplikation:
> Sei [mm]\lambda \in \IR[/mm] und [mm]v=\vektor{x1 \\ x2 \\x3} \in[/mm] U.
> [mm]\Rightarrow \lambda[/mm] (x1+2x2+5x3)=0 und [mm]\lambda[/mm]
> (2x1-x2-2x3)=0
> [mm]\Rightarrow \lambda*0=0 \Rightarrow \lambda*v \in[/mm] U
>
> Vektoraddition:
> Sei [mm]u=\vektor{y1 \\ y2 \\y3} \in[/mm] U.
> [mm]\Rightarrow v+u=\vektor{x1+y1 \\ x2+y2 \\x3+y3}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] (x1+y1)+2(x2+y2)+5(x3+y3)=0 und
> 2(x1+y1)-(x2+y2)-2(x3+y3)=0
> [mm]\Rightarrow[/mm] (1+1)+2(-8-8)+5(3+3)=0 und
> 2(1+1)-(-8-8)-2(3+3)=0
An dieser Stelle müßtest Du das allgemein zeigen,
daß mit [mm]u,v \in U[/mm] auch [mm]v+u \in U[/mm] gilt.
> [mm]\Rightarrow[/mm] v+u [mm]\in[/mm] U
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] U ist Unterraum von V.
>
> Stimmt das jetzt soweit?
Ja.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Wie würde eine allgemeine Lösung aussehen??
so:
[mm] \Rightarrow [/mm] (x1+y1)+2(x2+y2)+5(x3+y3)=0 und 2(x1+y1)-(x2+y2)-2(x3+y3)=0
[mm] \Rightarrow [/mm] 0+2*0+5*0=0 und 2*0-0-2*0=0 ?
Hier meine Lösung zu c)
U ist kein Untervektor von V, denn
Sei [mm] v=\vektor{1 \\ 0} \in [/mm] U
[mm] \Rightarrow [/mm] v*v=1*1 [mm] \not= [/mm] 0
[mm] \Rightarrow \not\in [/mm] U
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Wie würde eine allgemeine Lösung aussehen??
> so:
> [mm]\Rightarrow[/mm] (x1+y1)+2(x2+y2)+5(x3+y3)=0 und
> 2(x1+y1)-(x2+y2)-2(x3+y3)=0
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0+2*0+5*0=0 und 2*0-0-2*0=0 ?
Die eine Bedingung für einen Vektor [mm]\vektor{x\\
y\\
z}[/mm] aus U ist:
[mm]x+2y+5z=0[/mm]
Nimm dir 2 Vektoren [mm]u=\vektor{x_1\\
y_1\\
z_1}, v=\vektor{x_2\\
y_2\\
z_2}\in U[/mm] her.
Dann gilt [mm]x_1+2y_1+5z_1=0[/mm] und [mm]x_2+2y_2+5z_2=0[/mm] [mm](\star)[/mm]
Nun prüfe, ob [mm]u+v\in U[/mm] ist.
[mm]u+v=\vektor{x_1\\
y_1\\
z_1}+\vektor{x_1\\
y_2\\
z_2}=\vektor{x_1+x_2\\
y_1+y_2\\
z_1+z_2}[/mm]
Erfüllt dieser Vektor die Bedingung [mm](x_1+x_2)+2(y_1+y_2)+5(z_1+z_2)=0[/mm] ??
Rechne das nach. Dazu kannst du [mm](\star)[/mm] benutzen, also ausnutzen, dass du weißt, dass [mm]u[/mm] und [mm]v[/mm] in U sind.
Genauso mit der anderen U definierenden Bedingung.
Selbiges für die Multiplikation mit Skalaren
>
> Hier meine Lösung zu c)
>
> U ist kein Untervektor von V, denn
> Sei [mm]v=\vektor{1 \\
0} \in[/mm] U
> [mm]\Rightarrow[/mm] v*v=1*1 [mm]\not=[/mm] 0
Unsinn! Was soll den [mm]v\cdot{}v[/mm]??
Ich habe dir 2 Vektoren vorgelegt, die beide in U sind. Ihre Summe ist [mm]\vektor{1\\
1}[/mm] und [mm]1\cdot{}1=1\neq 0[/mm], also liegt die Summe nicht in U und U ist nicht abgeschlossen bzgl. Vektoraddition.
Gruß
schachuzipus
> [mm]\Rightarrow \not\in[/mm] U
|
|
|
| |
|
Stimmt das jetzt so?
a)
U ist kein Unterraum von V, da [mm] \vec{0}= \vektor{0 \\ 0\\ 0} \not\in [/mm] U, denn [mm] 2*0-0-2*0=0\not=1
[/mm]
b)
Vektoraddition:
Seien v = [mm] \vektor{x_1 \\ y_1\\ z_1} [/mm] und u= [mm] \vektor{x_2 \\ y_2\\ z_2} \in [/mm] U,
dann gilt [mm] x_1+2y_1+5z_1=0 [/mm] und [mm] x_2+2y_2+5z_2=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] u+v = [mm] \vektor{x_1\\ y_1\\ z_1}+\vektor{x_1\\ y_2\\ z_2}=\vektor{x_1+x_2\\ y_1+y_2\\ z_1+z_2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow (x_1+x_2)+2(y_1+y_2)+5(z_1+z_2)=0 \Rightarrow [/mm] u+v [mm] \in [/mm] U
Weiter gilt [mm] 2x_1-y_1-2z_1=0 [/mm] und [mm] 2x_2-y_2-2z_2=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] u+v = [mm] \vektor{x_1\\ y_1\\ z_1}+\vektor{x_1\\ y_2\\ z_2}=\vektor{x_1+x_2\\ y_1+y_2\\ z_1+z_2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 2(x_1+x_2)-(y_1+y_2)-2(z_1+z_2)=0 \Rightarrow [/mm] u+v [mm] \in [/mm] U
Skalarmultiplikation:
sei [mm] \lambda \in \IR, [/mm] dann gilt [mm] x_1+2y_1+5z_1=0 [/mm] und [mm] 2x_1-y_1-2z_1=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda*v [/mm] = [mm] \lambda(x_1+2y_1+5z_1)=0 [/mm] und [mm] \lambda(2x_1-y_1-2z_1)=0 \Rightarrow \lambda*v \in [/mm] U
[mm] \Rightarrow [/mm] U ist ein Unterraum von V.
C)
U ist kein Unterraum von V, denn seien [mm] v=\vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] u=\vektor{0 \\ 1} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] v+u= [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 1*1=1 [mm] \not=0 \Rightarrow [/mm] v+u [mm] \not\in [/mm] U
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Stimmt das jetzt so?
>
> a)
> U ist kein Unterraum von V, da [mm]\vec{0}= \vektor{0 \\
0\\
0} \not\in[/mm]
> U, denn [mm]2*0-0-2*0=0\not=1[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b)
> Vektoraddition:
> Seien v = [mm]\vektor{x_1 \\
y_1\\
z_1}[/mm] und u= [mm]\vektor{x_2 \\
y_2\\
z_2} \in[/mm]
> U,
> dann gilt [mm]x_1+2y_1+5z_1=0[/mm] und [mm]x_2+2y_2+5z_2=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] u+v = [mm]\vektor{x_1\\
y_1\\
z_1}+\vektor{x_1\\
y_2\\
z_2}=\vektor{x_1+x_2\\
y_1+y_2\\
z_1+z_2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow (x_1+x_2)+2(y_1+y_2)+5(z_1+z_2)=0 \Rightarrow[/mm]
Genau das sollst du ja nachrechnen, du hast "nur" die Def. hingeschrieben.
Es ist [mm](x_1+x_2)+2(y_1+y_2)+5(z_1+z_2)=...=\left[\underbrace{x_1+2y_1+5z_1}_{=0 \ \text{da} \ u\in U} \right] \ + \ \left[\underbrace{x_2+2y_2+5z_2}_{=0 \ \text{da} \ v\in U}\right] \ = \ 0 \ + \ 0 \ = \ 0[/mm]
> u+v [mm]\in[/mm] U
>
> Weiter gilt [mm]2x_1-y_1-2z_1=0[/mm] und [mm]2x_2-y_2-2z_2=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] u+v = [mm]\vektor{x_1\\
y_1\\
z_1}+\vektor{x_1\\
y_2\\
z_2}=\vektor{x_1+x_2\\
y_1+y_2\\
z_1+z_2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow 2(x_1+x_2)-(y_1+y_2)-2(z_1+z_2)=0 \Rightarrow[/mm]
Auch hier gilt: konkret nachrechnen, dass da 0 rauskommt!
> u+v [mm]\in[/mm] U
>
> Skalarmultiplikation:
> sei [mm]\lambda \in \IR,[/mm] dann gilt [mm]x_1+2y_1+5z_1=0[/mm]
?? wieso "Dann gilt"??
Du meinst, sei weiter [mm] $v=\vektor{x_1\\y_1\\z_1}\in [/mm] U$, dann gilt ...
> und
> [mm]2x_1-y_1-2z_1=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow \lambda*v[/mm] = [mm]\lambda(x_1+2y_1+5z_1)[/mm]
Nein, das stimmt doch nicht!
> und
> [mm]\lambda(2x_1-y_1-2z_1)=0 \Rightarrow \lambda*v \in[/mm] U
Auch hier musst du nachrechnen, genau das ist ja zu zeigen!
Es ist [mm] $\lambda\cdot{}v=\lambda\cdot{}\vektor{x_1\\y_1\\z_1}=\vektor{\lambda x_1\\\lambda y_1\\\lambda z_1}$
[/mm]
Jetzt rechne (mit dem Wissen, dass [mm] $x_1+2y_1+5z_1=0$ [/mm] gilt) nach, dass auch [mm] $(\lambda x_1)+2(\lambda y_1)+5(\lambda z_1)=0$ [/mm] ergibt.
Analog für die andere Bedingung aus U
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] U ist ein Unterraum von V.
>
> C)
> U ist kein Unterraum von V, denn seien [mm]v=\vektor{1 \\
0}[/mm]
> und [mm]u=\vektor{0 \\
1}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] v+u= [mm]\vektor{1 \\
0}[/mm] + [mm]\vektor{0 \\
1}[/mm] =
> [mm]\vektor{1 \\
1}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] 1*1=1 [mm]\not=0 \Rightarrow[/mm] v+u
> [mm]\not\in[/mm] U
Bei b) musst du noch mal ausbessern und den eigentlichen Beweis liefern, der "nur" in konkretem Nachrechnen besteht!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für eure Hilfe!!! :D
|
|
|
|
