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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 14:27 Fr 21.01.2005 | | Autor: | nikita |
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Hallo! Brauche mal wieder kleine Hilfe!
Folgende Aufgabe: In [mm] \IR^4 [/mm] sind folgende Unterräume [mm] U_{i} [/mm] erklärt:
[mm] U_{1}:=Lin({(0,1,1,0)}) U_{2}:=({(1,0,0,1),(0,1,0,0)}) U_{3}:=({(1,0,0,1),(0,1,1,0)})
[/mm]
Bestimmen Sie alle Komplemente von [mm] U_1+U_{2}, U_{2}+U_{3}, U_{1}+U_{2}+U_{3}, [/mm] die durch Vektoren der kanonischen Basis von [mm] \IR^4 [/mm] aufgespannt werden. (Welche dieser Summen sind direkt?) Meine Lösung:
[mm] U_{1}+U_{2}=Lin({(0,1,1,0),(1,0,0,1),(0,1,0,0)}). [/mm] Also sind die Komplemente Lin({(1,0,0,0),(0,0,1,0)}) und Lin({(0,0,0,1),(0,0,1,0)})
[mm] U_{2}+U_{3}=lin({(1,0,0,1),(0,1,0,0)}). [/mm] Die Komplemente sind [mm] Lin(\{(0,0,1,0),(0,0,0,1)}) [/mm] und [mm] Lin(\{(1,0,0,0),(0,0,1,0)})
[/mm]
[mm] U_{1}+U_{2}+U_{3}=Lin({(0,1,1,0),(1,0,0,1),(0,1,0,0)\}). [/mm] Die Komplemente sind Lin({(0,0,1,0),(0,0,0,1)}) und Lin({1,0,0,0),(0,0,1,0)})
Ist das richtig, habe ich auch alle geforderten Komplemente angegeben?
Wie kann ich sagen, welche der drei summen direkt sind? Ich dachte es muss gelten [mm] summe+kompl=\IR^4, [/mm] aber das gilt für keine der drei Summen.
Noch eine kleine Frage, Unterraum [mm] U_{1} \cap U_{2} [/mm] ist doch leer, also ist die Basis der Nullvektor?
Danke für eure Hilfe!
Gruß nikita
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