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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Mi 08.04.2009 | | Autor: | abakus86 |
| Aufgabe | Seien F: [mm] V\toV [/mm] ein Endomorphismus und f(t)=g(t)h(t) Polynome, sodass f(F)=0 und g,h, teilerfremd sind.
Zeigen Sie, dass V die direkte Summe der F-invarianten Unterräume ker g(F) und ker h(F) ist.
Hinweis: Schreibe p(t)g(t) + q(t)h(t) = 1 |
Hallo!
Ich bräuchte zu dieser Aufgabe mal eine kleine Starthilfe.
Also ich soll zeigen, dass V = ker g(F) [mm] \oplus [/mm] ker h(F), aber mit diesem Hinweis kann ich gar nichts anfangen und weiß auch absolut nicht wie ich daran gehen soll.
Sorry, ich weiß, dass ich hier nichts posten darf ohne einen eigenen Lösungsansatz, aber ich verlange auch gar keine Lösungen von euch, sondern würde mich über ein paar Tipps freuen und will es dann allein versuchen!! Wäre echt super! Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 Mi 08.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Aus
$p(t)g(t) + q(t)h(t) = 1$ folgt $p(F)g(F) + q(F)h(F) = I$, also
$p(F)g(F)x + q(F)h(F)x = x$ für jedes x in V
Setze $u = g(F)x$ und $v = h(F)x$, dann
(1) $p(F)u +q(F)v = x$
Wegen $f(F) = 0$, ist $g(F)h(F) = 0$. Daraus folgt, dass $p(F)u$ [mm] \in [/mm] ker($h(F)$) und $q(F)v$ [mm] \in [/mm] ker($g(F)$) .
Aus (1) folgt dann:
$V = ker g(F) + ker h(F)$
Dass die Summe rechts direkt ist, zeigst Du jetzt mal selbst.
FRED
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