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| Aufgabe | Man untersuche, welche der folgenden Mengen Unterräume des [mm] \IR^4 [/mm] sind:
(a) [mm] U_{1}= {(x_{1}, x_{2},x_{3},x_{4})\in \IR^{4} | x_{1}=x_{3}, x_{2}+x_{4}=0},
[/mm]
(b) [mm] U_{2}= {(x_{1}, x_{2},x_{3},x_{4})\in \IR^{4} | x_{1}^{2}=x_{2}}. [/mm] |
Hallo, ich kenne zwar die Unterraumkriterien, mit denen man diese Aufgabe ja wohl rechnen muss, allerdings habe ich keine Ahnung, wie man denn nun damit rechnet?
Da man ja keine Lösungen vorgeben darf, wäre es mir lieb, wenn mir jemand an einem ähnlichen Beispiel die Sache erklären könnte.
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:58 So 03.12.2006 | | Autor: | Fuffi |
Der zweite ist offensichtlich kein Unterraum. Das kann man an einem Beispiel zeigen:
[mm] v1=\vektor{1\\1\\a\\b}, v2=\vektor{2\\4\\x\\y}, v3=v1+v2=\vektor{3\\5\\a+x\\b+y}
[/mm]
Die ersten beiden Vektoren erfüllen die geforderte Eigenschaft, der Vektor der bei der Addition entsteht jedoch nicht mehr. Somit ist es kein Unterraum.
Der erste dürfte einer sein. Wenn du aber nicht drauf kommst schreib ich morgen noch was dazu bin nur im Augenblick zu müde.
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Hallo, danke schon mal für die hilfe, leider habe ich immernoch nicht so recht eine ahnung, was man da genau macht, kannst du mir das noch einmal genauer erläutern?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:18 Mo 04.12.2006 | | Autor: | Fuffi |
Also du sollst prüfen, ob U [mm] \subseteq [/mm] V. Dazu haben wir (ich hoffe ihr auch) 3 Kriterien, die erfüllt sein müssen.
1. Der Nullvektor muss enthalten sein
2. U1 + U2 [mm] \in [/mm] U, d.h. sowohl U1, U2 als auch die Summe der beiden müssen eine bestimmte Bedingung erfüllen, z.B. x1=x3, x2=x4=0. Oft ist es so, dass U1 und U2 die Bedingung erfüllen, die Summe der beiden aber nicht mehr. Dann handelt es sich auch nicht um einen Unterrraum.
3. s * U1 [mm] \in [/mm] U, wobei s [mm] \in [/mm] K ein Skalar ist. Auch hier gibt es hin-und wieder Probleme, dass s*U nicht mehr die Bedingung erfüllen
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