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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Untermanigfaltigkeit sphärisch
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Untermanigfaltigkeit sphärisch: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:52 Do 20.12.2012
Autor: Feuerkerk

Aufgabe
Eine Untermannigfaltigkeit S des [mm] \mathbb{R}^3 [/mm] heißt sphärisch, wenn ein [mm] a\in \mathbb{R}^3 [/mm] und ein r > 0 existieren, so dass S [mm] \subset \{x \in \mathbb{R}^3:||x-a||=r\} [/mm] gilt.

Es sei [mm] A\subset \mathbb{R}^2 [/mm] offen und wegzusammenhängend, [mm] f:A->\mathbb{R}^3 [/mm] sei stetig differenzierbar und S=f(A) eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit des [mm] \mathbb{R}^3. [/mm] Es gebe eine stetig differenzierbare Abbildung [mm] N:A->\mathbb{R}^3, [/mm] so dass für alle (x,y) [mm] \in [/mm] A der Vektor N(x,y) ein Normaleneinheitsvektor von S im Punkt f(x,y) ist. Zeige: Wenn sich alle Flächennormalen von S in einem Punkt schneiden, ist S sphärisch.


Hallo zusammen,

ich hab Probleme mit obiger Aufgabe... ich weiß nicht wirklich, wo ich da anfangen soll. Ich hab mal versucht, mir das ganze halbwegs aufzumalen und denke, man sollte a als den Schnittpunkt der Flächennormalen wählen. Wie ich aber nun zeigen soll, dass alle Punkte auf der Untermannigfaltigkeit von a die gleiche positive Entfernung haben... keine Ahnung. Mir ist insbesondere nicht klar, welchen Sinn die Funktion N hat und was genau hier der Normaleneinheitsvektor ist. Zeigt der nicht im Prinzip in die (entgegengesetzte) Richtung der Flächennormalen?

Man sollte als vorherige Teilaufgabe zeigen, dass eine stetig differenzierbare Funktion auf einer wegzusammenhängenden Menge konstant ist, wenn ihre Jacobimatrix die Nullmatrix ist. Vielleicht sollte man das hier auch irgendwie verwenden, z.B. hab ich schon versucht, damit zu zeigen, dass die Norm von f(x,y)-a für alle (x,y) [mm] \in [/mm] A konstant ist, was aber nicht wirklich funktioniert.

        
Bezug
Untermanigfaltigkeit sphärisch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:23 Sa 22.12.2012
Autor: SEcki


> Mir ist insbesondere nicht klar,
> welchen Sinn die Funktion N hat und was genau hier der
> Normaleneinheitsvektor ist.

Damit ist das ganze orientiert.

Eine Idee: ist der Abstand nicht überall gleich, so verbinde zwei Punkte x, y mit unterschiedlichen Abstand von a mit einer stetig diffbaren Abbildung c. Dann verwende die Kettenregel und Mittelwertsatz - und finde einen Widerspruch dazu, dass alle Normalen sich in a treffen.

SEcki


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Untermanigfaltigkeit sphärisch: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:29 Sa 22.12.2012
Autor: Feuerkerk

Was heißt 'orientiert'? Und wieso braucht man das für den Beweis?

Und mir fällt irgendwie zu der Idee nicht viel Konkretes ein. Das scheitert leider schon daran, dass ich nicht drauf komme, wie die Abbildung c überhaupt aussehen soll. Wenn ich einfach nur die Verbindungsstrecke zwischen x und y nehme, liegt diese doch i.A. nicht mehr in der Untermannigfaltigkeit (?) und wenn ich alternativ [mm] x=f(a_1,a_2) [/mm] und [mm] y=f(b_1,b_2) [/mm] betrachte und sage, dass man [mm] (a_1,a_2) [/mm] und [mm] (b_1,b_2) [/mm] durch einen Weg [mm] \gamma [/mm] verbinden kann, da A wegzusammenhängend ist, und ich dann [mm] c:=f\circ \gamma [/mm] setze, ist c nicht reellwertig. Also kann ich den MWS nicht anwenden...

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Bezug
Untermanigfaltigkeit sphärisch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:18 Sa 22.12.2012
Autor: SEcki


> Was heißt 'orientiert'?

Google das einfach.

> Und wieso braucht man das für den

> Beweis?

Braucht man imo hier nicht.

> Also kann ich den MWS nicht
> anwenden...

Komposition mit [m]x\mapsto ||x-a||[/m] ...

SEcki


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Untermanigfaltigkeit sphärisch: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:10 So 23.12.2012
Autor: Feuerkerk

Ok, dann nenne ich diese Komposition mal g und definiere dann c:= [mm] g\circ{f}\circ\gamma. [/mm] Seien x, y [mm] \in [/mm] S mit [mm] g(x)\neq{g(y)}, f(a_1,a_2)=x, f(b_1,b_2)=y [/mm] und [mm] \gamma(c_1)=(a_1,a_2), \gamma(c_2)=(b_1,b_2). [/mm]
Wende ich darauf den Mittelwertsatz an, erhalte ich ein [mm] \xi\in (c_1,c_2) [/mm] mit [mm] \frac{||y-a||-||x-a||}{c_2-c_1}=(g\circ{f}\circ\gamma)'(\xi)=\nabla{g}(f\circ\gamma(\xi))\cdot{J_f(\gamma(\xi))}\cdot\gamma'(\xi) [/mm]
Wie komme ich von da aus weiter?

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Untermanigfaltigkeit sphärisch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:12 Mo 24.12.2012
Autor: SEcki


> [mm]\nabla{g}(f\circ\gamma(\xi))[/mm]

Das kannst du weiter ausrechnen und in Verbindung mit [m][mm] f\circ\gamma(\xi)-a[/mm] [/mm] bringen.

> [mm]{J_f(\gamma(\xi))}\cdot\gamma'(\xi)[/mm]

Das ist ein Tangentialvektor an die Untermgf.

SEcki

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Untermanigfaltigkeit sphärisch: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:53 Mo 24.12.2012
Autor: Feuerkerk

Es ist [mm] \nabla{g}(f\circ\gamma(\xi))=\frac{(f\circ\gamma)(\xi)-a}{||(f\circ\gamma)(\xi)-a||}. [/mm] Die mit dem MWS gewonnene Gleichung zeigt, dass das Skalarprodukt dieses Vektors mit dem Tangentialvektor nicht 0 ist. Es handelt sich aber um den Verbindungsvektor von [mm] f(\gamma(\xi)) [/mm] mit a. Wäre a also der Schnittpunkt aller Flächennormalen, so wäre dieser eindeutig bestimmte Verbindungsvektor auch eine Flächennormale und daher orthogonal zum Tangentialvektor, Widerspruch. Richtig?

Eine, vermutlich ziemlich triviale, Frage noch: Damit g differenzierbar ist, darf man diese Funktion ja nur für Punkte [mm] \neq{a} [/mm] definieren. Wieso kann der Schnittpunkt der Flächennormalen nicht in der Untermannigfaltigkeit liegen? Anschaulich ist mir denke ich klar, wieso das nicht geht, aber wie kann man das formal begründen?

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Untermanigfaltigkeit sphärisch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:17 Di 25.12.2012
Autor: SEcki

Deine Überlegungen sind soweit richtig.

Warum a nicht in der Untermgf. liegt: du kannst beim Beweis die Punkte so nah wählen, so dass du eine Strecke wählen kannst, die garantiert nicht durch a geht - du hast genügend Punkte. Damit kann dann a nicht mehr drin liegen.

SEcki

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Untermanigfaltigkeit sphärisch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:32 Di 25.12.2012
Autor: Feuerkerk

Gut, dann vielen Dank für deine Hilfe und deine Geduld! :-)

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