Untergruppe der komplexen Zahl < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:39 Sa 18.11.2006 | | Autor: | VHN |
| Aufgabe | Sei [mm] $S^{1} [/mm] = [mm] \{z \in \IC\ |\ |z| = 1\} \subset \IC^{\times}$ [/mm] die Untergruppe der komplexen Zahlen, deren Norm 1 ist. Für ein Element $z [mm] \in S^{1}$ [/mm] sei [mm] $\langle z\rangle$ [/mm] die von $z$ erzeugte Untergruppe.
Zeige:
Die Menge $G:= [mm] \{z \in S^{1}\ |\ |\langle z\rangle| < \infty \}$ [/mm] ist eine Untergruppe der [mm] $S^{1}$, [/mm] die isomorph zu [mm] $\IQ/\IZ$ [/mm] ist.
(wobei [mm] $\IC^{\times} [/mm] = [mm] \IC-\{0\}$ [/mm] ist) |
Hallo zusammen!
Damit ich zeige, dass G [mm] \subset S^{1} [/mm] eine Untergruppe von [mm] S^{1} [/mm] ist, muss ich doch die drei UG-Eigenschaften zeigen:
a) neutrales Element:
Sei e das neutrale Element von [mm] S^{1} [/mm] mit e = (1,0) und |e|=1. Es ist klar, dass |<e>| < [mm] \infty [/mm] gilt.
Also e [mm] \in [/mm] G.
b) Abgeschlossenheit:
Sei a,b [mm] \in [/mm] G mit |a|=|b|=1. dann gilt ab [mm] \in S^{1}, [/mm] da |ab|=|a||b|=1*1=1.
zu zeigen: ab [mm] \in [/mm] G.
Also zu zeigen: |<ab>| < [mm] \infty [/mm]
<ab> ist doch { [mm] ab^{x} [/mm] | x [mm] \in \IZ [/mm] }.
Die Ordnung von <ab> muss kleiner als [mm] \infty [/mm] sein, da ab [mm] \in S^{1} [/mm] liegt, und somit immer noch im Einheitskreis.
stimmt das so?
c) Inverses Element:
zu zeigen: für alle [mm] z\inG [/mm] gilt, dass [mm] \overline{z}\in [/mm] G ist.
Für alle z [mm] \in S^{1} [/mm] gilt, dass ebenso [mm] \overline{z} [/mm] ebenso in [mm] S^{1} [/mm] liegt, da [mm] S^{1} [/mm] eine UG ist.
nun bleibt zu zeigen, dass [mm] |<\overline{z}>| [/mm] < [mm] \infty [/mm] ist.
Kann man diese Behauptung so begründen, weil ebenso [mm] \overline{z} [/mm] im Einheitskreis liegt, und somit die Ordnung < [mm] \infty [/mm] ist? stimmt das so?
Damit ist G eine Untergruppe von [mm] S^{1}.
[/mm]
Nun muss ich noch zeigen, dass G isomorph zu [mm] \IQ/\IZ [/mm] ist.
Definiere [mm] \pi: \IQ/\IZ \to [/mm] G.
Nun müssen wir zeigen, dass [mm] \pi [/mm] ein Isomorphismus ist.
nun will ich zunächst zeigen, dass [mm] \pi [/mm] ein homomorphismus ist. also muss gelten:
[mm] \pi(a+b)=z=a+ib [/mm] mit a+b [mm] \in \IQ/\IZ, a\in\IQ [/mm] und [mm] b\in\IZ.
[/mm]
[mm] \pi((a+b)(c+d)) [/mm] = [mm] \pi(a+b) \pi(c+d)
[/mm]
[mm] \pi [/mm] (ac+ad+bc+bd) = (ac+ad+bc)+ibd wobei [mm] bd\in\IZ [/mm] und [mm] (ac+ad+bc)\in\IQ. [/mm] stimmt das so?
[mm] \pi(a+b) \pi(c+d) [/mm] = (a+ib)(c+id) = (ac-bd)+i(bc+ad)
aber meine rechnung geht nicht auf. wo ist mein fehler? ist mein ansatz oder meine vorgehensweise schon falsch?
ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen und mich verbessern bzw. mir einen tipp geben. vielen dank!
VHN
|
|
| |
|
Hallo VHN,
für mich sieht die Aufgabe nach einer Anwendung des (1.?) Homomorphiesatzes aus; Du brauchst hier also nicht die Untergruppeneigenschaft nachzuweisen.
Vielmehr geht's darum, einen geeigneten Homomorphismus [mm] $\IQ \to S_{1}$ [/mm] anzugeben.
Allerdings stolpere ich gerade über [mm] $\IQ/\IZ$; [/mm] denn eigentlich kann IMHO nur ein Homomorphismus von [mm] $\IQ^\times \to S_{1}$ [/mm] gemeint sein ![[kopfkratz2]](/images/smileys/kopfkratz2.gif "[kopfkratz2]") .
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 So 19.11.2006 | | Autor: | andreas |
hi
wie wäre es denn mit [mm] $\varphi: \mathbb{Q} \longrightarrow S^1; [/mm] t [mm] \longmapsto \exp(2\pi [/mm] i t)$?
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 So 19.11.2006 | | Autor: | VHN |
Hallo andreas!
Danke für deinen tipp!
Ich muss jetzt doch nur beweisen, dass dieser Homomorphismus surjektiv ist. das ist aber klar nach der definition von [mm] \phi.
[/mm]
Zu zeigen bleibt, dass [mm] ker(\phi) [/mm] = [mm] \IZ.
[/mm]
der kern ist doch wie folgt definiert:
[mm] ker(\phi) [/mm] = { [mm] t\in\IQ [/mm] | [mm] exp(2\pi [/mm] it)=1 }
aber warum gilt [mm] ker(\phi) [/mm] = [mm] \IZ?
[/mm]
t ist doch in [mm] \IQ [/mm] und nicht in [mm] \IZ.
[/mm]
ich verstehe das nicht ganz. ich hoffe, du kannst mich da aufklären.
damit hätte ich also gezeigt, dass G isomoprh ist zu [mm] \IQ/\IZ. [/mm] stimmt das?
muss ich bei dieser aufgabenstellung noch explizit beweisen, dass G eine untergruppe von [mm] S^{1} [/mm] ist, oder wird hier davon ausgegangen?
vielen dank für deine hilfe!
VHN
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:12 Mo 20.11.2006 | | Autor: | Binie |
Hi Moe
also ker [mm] \phi [/mm] = {t [mm] \in \IQ [/mm] | [mm] e^{it2\pi} [/mm] = 1}
der hintere Teil tritt nur ein, wenn t [mm] \in \IZ, [/mm] also muss
t [mm] \in \IQ \cap \IZ [/mm] was ja genau [mm] \IZ [/mm] ist, alles klar?
LG Binie
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 Mo 20.11.2006 | | Autor: | andreas |
hi
habe mir letztes mal diesen teil nicht durchgelesen, wollte aber nochmal kurz ein paar anmerkungen machen: nicht jedes $x [mm] \in S^1$ [/mm] hat endliche ordnung, z.b. hat [mm] $e^i$ [/mm] nicht endliche ordnung, d.h. [mm] $(e^i)^k \not= [/mm] 1 [mm] \qquad \forall \, [/mm] k [mm] \in \mathbb{Z} \setminus \{ 0 \}$, [/mm] daher kann man nicht argumentiern, dass jedes element welches auf dem einheitskreis liegt endliche ordnung hat. $G$ ist also eine echte untergruppe von [mm] $S^1$!
[/mm]
> Damit ich zeige, dass G [mm]\subset S^{1}[/mm] eine Untergruppe von
> [mm]S^{1}[/mm] ist, muss ich doch die drei UG-Eigenschaften zeigen:
>
> a) neutrales Element:
> Sei e das neutrale Element von [mm]S^{1}[/mm] mit e = (1,0) und
> |e|=1. Es ist klar, dass |<e>| < [mm]\infty[/mm] gilt.
> Also e [mm]\in[/mm] G.
was ist denn $|<e>|$, dass kann man doch explizit angeben?
> b) Abgeschlossenheit:
> Sei a,b [mm]\in[/mm] G mit |a|=|b|=1. dann gilt ab [mm]\in S^{1},[/mm] da
> |ab|=|a||b|=1*1=1.
> zu zeigen: ab [mm]\in[/mm] G.
> Also zu zeigen: |<ab>| < [mm]\infty[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> <ab> ist doch { [mm]ab^{x}[/mm] | x [mm]\in \IZ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}.
> Die Ordnung von <ab> muss kleiner als [mm]\infty[/mm] sein, da ab
> [mm]\in S^{1}[/mm] liegt, und somit immer noch im Einheitskreis.
> stimmt das so?
so kann man nicht argumentieren (siehe oben), aber vielleicht kann man etwas mit hilfe der ordnungen von $a$ und $b$ über die ordnung von $ab$ aussagen?
> c) Inverses Element:
> zu zeigen: für alle [mm]z\inG[/mm] gilt, dass [mm]\overline{z}\in[/mm] G
> ist.
> Für alle z [mm]\in S^{1}[/mm] gilt, dass ebenso [mm]\overline{z}[/mm] ebenso
> in [mm]S^{1}[/mm] liegt, da [mm]S^{1}[/mm] eine UG ist.
das liegt nicht an der gruppeneigenschaft von [mm] $S^1$ [/mm] - komplexe konjugation hat ja mit der gruppe erstmal nicht so viel zu tun -, aber man kann leicht einsehen, dass für alle $z [mm] \in \mathbb{C}$ [/mm] gilt $|z| = [mm] |\overline{z}|$.
[/mm]
> nun bleibt zu zeigen, dass [mm]|<\overline{z}>|[/mm] < [mm]\infty[/mm] ist.
> Kann man diese Behauptung so begründen, weil ebenso
> [mm]\overline{z}[/mm] im Einheitskreis liegt, und somit die Ordnung
> < [mm]\infty[/mm] ist? stimmt das so?
wie gesagt kann man so nicht argumentieren, sondern man sollte ein ähnliches argument wie bei der abgeschlossenheit verwenden!
probiere das doch mal.
grüße
andreas
|
|
|
|
