Untergruppe, Normalteiler < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 Sa 02.01.2010 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | | Sei G eine Gruppe und sei H [mm] \le [/mm] G eine Untergruppe mit [G:H] = 2. Dann ist H ein Normalteiler von G. |
Hallo,
ich habe ein paar Probleme bei der Aufgabe.
Gegeben ist [G:H]=2, dh. |G/H|=|H [mm] \backslash [/mm] G|=2, dh die Anzahl der Nebenklassen ist 2. oder? Warum folgt nun, dass G die disjunkte Vereinigung der zwei Nebenklassen H und gH ist (bzw. H und Hg) mit g [mm] \in [/mm] G?ok, zwei Nebenklassen sind entweder gleich oder disjunkt. aber warum ist G erstens die Vereinigung von zwei Nebenklassen und zweitens warum sind es ausgerechnet die Nebenklassen H und gH und nicht z.B. aH und bH mit a,b [mm] \in [/mm] G und a [mm] \neq [/mm] b?
Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar,
grüße moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:38 Sa 02.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Also zunächst einmal gilt ganz allgemein, dass $G$ die disjunkte Vereinigung aller Nebenklassen ist. $[G:H]=2$ bedeutet nach Definition, dass es genau zwei Nebenklasse gH und hH gibt für gewisse [mm] $g,h\in [/mm] G$. Nun, eine der Nebenklassen enthält zweifelsfrei das neutrale Element - nehmen wir o.B.d.A. an [mm] $e\in [/mm] hH$. Dann ist $hH=H$, denn [mm] $e\in [/mm] eH=H$ kann nicht in einer weiteren Nebenklasse sein. Also ist [mm] $G=H\dot{\cup}gH$ [/mm] für ein gewisses [mm] $g\in G\setminus [/mm] H$, über das wir sonst eigentlich nix weiter wissen.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:23 Sa 02.01.2010 | | Autor: | moerni |
Vielen Dank für die super Antwort!
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