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| Aufgabe | Die Gruppe G sei endlich. Es sei [mm] U\subsetG [/mm] eine Teilmenge mit den Eigenschaften:
- [mm] U\not=\emptyset
[/mm]
- x,y [mm] \in [/mm] U => xy [mm] \in [/mm] U
Beweisen Sie, dass U eine Untergruppe von G ist. |
Tachchen,
zu zeigen ist ja
i) Assoziativgestz gilt (was klar ist, da die Verknüpfung aus G ist und es vererbt wird)
ii) Es existiert eine 1 in U so dass x1=x=1x für alle [mm] x\inU
[/mm]
iii) Es existiert ein -x mit x(-x)=1=(-x)x
Bis hierhin müssts noch stimmen.
ad i) Da |G| endlich ist |U| automatisch auch endlich. Jetzt müsste ich doch zeigen, dass es ein Einselement geben muss, ansonsten wären die Vorraussetzungen verletzt. Ich hab nur keine Ahnung wie. Hier bräuchte ich einen Tipp.
Ich habs mir mal versucht klar zu machen:
Betrachte |U|=3: U={x,y,z};
Wenns nun kein 1 in U gäbe wäre ja xy= z, weils ja nicht x und nicht y sein darf. So gesehn muss ja bei jeder Verknüpfung ein neues Element (nach Vorraussetzung aus U) geschaffen werden, also ist |U| nicht endlich.
geht das so?
das muss ich wissen, da ich ja erst eine 1 brauche um das inverse zu definieren...
Wäre dankbar für eure Hilfe,
benevonmattheis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:35 Do 02.08.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Im Prinzip ja aber mit |G|=n endlich folgt [mm] |U|\le [/mm] n.
Nach Vors liegt [mm] x^k [/mm] in U d.h. [mm] k\le [/mm] n wenn gelten soll [mm] x^k\ne [/mm] 1 für alle k. also gibt es ein k mit [mm] x^k=1
[/mm]
Das einzige, was ich eigentlich geändert habe, dass ich nur mind ein Element habe.
Gruss leduart
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Hi,
> Nach Vors liegt [mm]x^k[/mm] in U
das versteh ich, ist ja klar
> d.h. [mm]k\le[/mm] n wenn gelten soll
> [mm]x^k\ne[/mm] 1 für alle k. also gibt es ein k mit [mm]x^k=1[/mm]
das versteh ich nicht so ganz... ist das nach Lagrange? der gilt doch nur für Gruppen, wir haben aber ja noch keine
könntest du (oder jemand anders) das villeicht ein wenig detaillierter erklären, ich steh grad voll aufm schlauch....
danke für die Geduld,
benevonmattheis
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Hallo,
es ist ja [mm] |U|\le [/mm] |G|=n.
Da [mm] U\not= \emptyset, [/mm] gibt es ein Element [mm] x\in [/mm] U.
Nach Voraussetzung ist dann jede Potenz von x in U.
Weil U ja höchstens n Elemente enthält, müssen sich Elemente wiederholen.
Es gibt also k und l mit [mm] x^k=x^{k+l}=x^kx^l
[/mm]
Da x [mm] \in [/mm] G und G Gruppe ist, gilt [mm] 1=(x^k)^{-1}x^k=(x^k)^{-1}x^kx^l=1*x^l=x^l.
[/mm]
Also ist [mm] 1=x^l, [/mm] und [mm] x^l [/mm] ist, wie oben festgestellt, in U.
Gruß v. Angela
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alles klar,
danke, hab garnicht die gruppeneigenschaften von G erkannt, aber jetzt machts sinn....
danke nochmal,
benevonmattheis
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