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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 Do 17.11.2005 | | Autor: | cloe |
Hallo,
ich soll beweisen, dass der Durchschnitt von Untergruppen wieder Untergruppe ist. Leider komm ich auf keinen Ansatz. Irgendwie find ich es logisch, dass der Durchschnitt wieder Untergruppe sein muss.
Kann mir da jemand bitt weiterhelfen. :-/
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> Hallo,
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> ich soll beweisen, dass der Durchschnitt von Untergruppen
> wieder Untergruppe ist. Leider komm ich auf keinen Ansatz.
> Irgendwie find ich es logisch, dass der Durchschnitt wieder
> Untergruppe sein muss.
> Kann mir da jemand bitt weiterhelfen. :-/
Hallo,
warum findest Du es logisch?
Welche Kriterien dafür, daß die Teilmenge T einer Gruppe G wieder eine Gruppe ist, T also Untergruppe von G ist, habt Ihr gelernt?
Wenn Ihr keine Kriterien gelernt habt, wirst du jede Gruppeneigenschaft nachweisen müssen.
Eine äquivalente Bedingung zu "T Untergruppe von G" ist aber z.B:
"\ emptyset [mm] \not= [/mm] T [mm] \subseteq [/mm] G und für alle t,t' [mm] \in [/mm] T gilt tt' [mm] \in [/mm] T und [mm] t^{-1} \in [/mm] T".
Da ist man bedeutend schneller fertig.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Do 17.11.2005 | | Autor: | cloe |
Ich kam auf folgenden Beweis, aber ich weiß nicht so ganz ob es so richtig ist.
Also der Beweis lautet wie folgt.
Sei [mm] (U_{i})_{i\inI} [/mm] Familie von Untergruppen
Wegen e [mm] \in U_{i} [/mm] folgt, dass [mm] \bigcap_{i \in I}U_{i} \not= \emptyset
[/mm]
Es gilt: a,b [mm] \in \bigcap_{i \in I}U_{i} \Rightarrow [/mm] a,b [mm] \in U_{i} \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] I
[mm] \Rightarrow ab^{-1} \inU_{i} \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] I
[mm] \Rightarrow ab^{-1} \in \bigcap_{i \in I}U_{i}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bigcap_{i \in I}U_{i} [/mm] Untergruppe von G
Ist der Beweis so richtig??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:47 Do 17.11.2005 | | Autor: | bazzzty |
Sorry, irgendwie ist meine Antwort verlorengegangen.
> Sei [mm](U_{i})_{i\inI}[/mm] Familie von Untergruppen
> Wegen e [mm]\in U_{i}[/mm] folgt, dass [mm]\bigcap_{i \in I}U_{i} \not= \emptyset[/mm]
Jap
> Es gilt: a,b [mm]\in \bigcap_{i \in I}U_{i} \Rightarrow[/mm] a,b
> [mm]\in U_{i} \forall[/mm] i [mm]\in[/mm] I
> [mm]\Rightarrow ab^{-1} \in U_{i} \forall[/mm] i [mm]\in[/mm] I
> [mm]\Rightarrow ab^{-1} \in \bigcap_{i \in I}U_{i}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bigcap_{i \in I}U_{i}[/mm] Untergruppe von G
>
> Ist der Beweis so richtig??
Ja. Einfacher (zum Schreiben) hättest Du es Dir nur machen können, wenn Du nur den Schnitt zweier Untergruppen betrachtest. Beliebige Schnitte lassen sich ja durch sukzessives Schneiden erreichen.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 Do 17.11.2005 | | Autor: | bazzzty |
> Also der Beweis lautet wie folgt.
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> Sei [mm](U_{i})_{i\inI}[/mm] Familie von Untergruppen
(Hier hättest Du es Dir leichter machen können: Hättest Du gezeigt, daß der Schnitt zweier Untergruppen eine Untergruppe ist, gälte das durch Sukzessives Schneiden auch für Familien von Untergruppen.
> Wegen e [mm]\in U_{i}[/mm] folgt, dass [mm]\bigcap_{i \in I}U_{i} \not= \emptyset[/mm]
Jap.
> Es gilt: a,b [mm]\in \bigcap_{i \in I}U_{i} \Rightarrow[/mm] a,b
> [mm]\in U_{i} \forall[/mm] i [mm]\in[/mm] I
> [mm]\Rightarrow ab^{-1} \in U_{i} \forall[/mm] i [mm]\in[/mm] I
> [mm]\Rightarrow ab^{-1} \in \bigcap_{i \in I}U_{i}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bigcap_{i \in I}U_{i}[/mm] Untergruppe von G
>
> Ist der Beweis so richtig??
Ja.
Bei solchen Aufgaben wird es fast immer darum gehen, schlicht die Kriterien nachzuprüfen (bzw. so auf ein Gegenbeispiel zu treffen).
Gruß
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