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Unterbestimmtes Gl. System: Allg. Frage zu Freiheitsgrade
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:46 Fr 18.05.2012
Autor: Jack159

Aufgabe
Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit dem Gauß-Algorithmus:

[mm] \pmat{ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 5 \\ 2 & 5 & 13 }\vektor{x1 \\ x2 \\ x3}=\vektor{2 \\ 0 \\ 2} [/mm]


Hallo,

Bei dem Versuch das Gleichungsystem mit dem Gauß-Alg. zu lösen, erhält man folgende 3 Gleichungen:

x1-x3=-4
x2+3x3=2
0=0

Das Gleichungssystem ist unterbestimmt, da wir mehr Unbekannte als Gleichungen haben. Genau genommen haben wir 3 Unbekannte und 2 Gleichungen. Somit gibts also unendlich viele Lösungen.

Frage:
Wenn man solch eine Aufgabe bekommt in der es heißt "Lösen Sie das Gleichungssystem" und man bemerkt, dass es sich um ein unterbestimmtes Gleichungssystem handelt, wie geht man dann vor?

Variante A:
Schreibt man einfach hin, dass das Gleichungssystem unterbestimmt ist und somit unendlich viele Lösungen hat?

Variante B:
Oder wählt man 1 Freiheitsgrad (in dem Fall 1 Freiheitsgrad) z.b. x1=1 und löst dann somit das Gleichungssystem? Wann genau ist einem dieser Freiheitsgrad "gestattet"?



        
Bezug
Unterbestimmtes Gl. System: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:53 Fr 18.05.2012
Autor: Steffi21

Hallo

[mm] \pmat{ 2 & 5 & 13 & 2 \\ 1 & 2 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 2 } [/mm]

bilde eine neue 2. Zeile: Zeile 1 minus 2 mal Zeile 2

[mm] \pmat{ 2 & 5 & 13 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 2 } [/mm]

[mm] \pmat{ 2 & 5 & 13 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm]

jetzt kannst du z.B. [mm] x_3=p [/mm] als frei wählbaren Parameter setzen, es gibt also unendlich viele Lösungen

Steffi

Bezug
                
Bezug
Unterbestimmtes Gl. System: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:01 Fr 18.05.2012
Autor: Jack159

Hallo Steffi21,

Die Frage ist aber, ob man einen Freiheitsgrad wählen MUSS, oder ob es ausreicht einfach hinzuschreiben: System ist unterbestimmt, daher unendlich viele Lösungen.

Und Falls man einen Freiheitsgrad wählen sollte (z.b. x1=1) und alle Unbekannten dann berechnet, dann wäre es aber nur EINE (von unendlich vielen) Lösungen und nicht DIE Lösung oder?

Bezug
                        
Bezug
Unterbestimmtes Gl. System: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:52 Fr 18.05.2012
Autor: abakus


> Hallo Steffi21,
>  
> Die Frage ist aber, ob man einen Freiheitsgrad wählen
> MUSS, oder ob es ausreicht einfach hinzuschreiben: System
> ist unterbestimmt, daher unendlich viele Lösungen.

Hallo,
"unendlich viele Tripel" bedeutet ja nicht, dass "jedes Tripel" eine Lösung des Gleichungssystems ist.
Also muss man schon die unendlich vielen Lösungstripel von den unendlich vielen Nicht-Lösungstripeln abgrenzen, indem man eine allgemeine Gestalt aller Lösungstripel findet.
Gruß Abakus


>  
> Und Falls man einen Freiheitsgrad wählen sollte (z.b.
> x1=1) und alle Unbekannten dann berechnet, dann wäre es
> aber nur EINE (von unendlich vielen) Lösungen und nicht
> DIE Lösung oder?


Bezug
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