Unterbest. GS eindeutig lösen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme die vier Eurobeträge a,b,c,d, die das folgende Gleichungssystem erfüllen!
a*b*c*d = 9.27
a+b+c+d = 9.27 |
Hallo!
Dies war eine Aufgabe der TU Bergakademie Freiberg, um zur Frühjahrsakademie zugelassen zu werden. Abgabeschluss war 15. Februar; ich stelle die Frage nur aus Interesse.
Da das Gleichungssystem eindeutig unterbestimmt ist, hatte ich zunächst folgenden Ansatz:
Zunächst wollte ich mit ganzen Zahlen arbeiten, deswegen habe ich statt
a = 1,23 die Variablen als a = 123 deklariert; sodass sie also praktisch Centbeträge angeben. Das Gleichungssystem verändert sich dann folgendermaßen:
a*b*c*d = 927000000
a+b+c+d = 927
Nun dachte ich könnte man das Produkt benutzen, um herauszubekommen aus welchen Primfaktoren a,b,c,d bestehen:
a*b*c*d = 927000000 = [mm] 2^{6}*3^{2}*5^{6}*103^{1}
[/mm]
Nun weiß ich, dass die Beträge nur aus diesen Faktoren zusammengesetzt sein können; aber nun hört es bei mir schon auf.
Ich wollte euch fragen, ob ihr bestimmte zahlentheoretische Sätze / Tricks kennt, womit man diese Aufgabe möglichst ohne viel "Probieren", sondern mehr oder weniger einem Algorithmus folgend eindeutig lösen kann.
Ich dachte mir insbesondere weil das Ergebnis eindeutig ist, gibt es vielleicht einen guten mathematischen Weg.
Die Lösung ist: Jedes geordnetes 4-Tupel aus {40,225,250,412}.
Vielen Dank für eure Mühe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:02 Mi 20.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Bestimme die vier Eurobeträge a,b,c,d, die das folgende
> Gleichungssystem erfüllen!
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> a*b*c*d = 9.27
> a+b+c+d = 9.27
> Hallo!
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> Dies war eine Aufgabe der TU Bergakademie Freiberg, um zur
> Frühjahrsakademie zugelassen zu werden. Abgabeschluss war
> 15. Februar; ich stelle die Frage nur aus Interesse.
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> Da das Gleichungssystem eindeutig unterbestimmt ist, hatte
> ich zunächst folgenden Ansatz:
> Zunächst wollte ich mit ganzen Zahlen arbeiten, deswegen
> habe ich statt
> a = 1,23 die Variablen als a = 123 deklariert; sodass sie
> also praktisch Centbeträge angeben. Das Gleichungssystem
> verändert sich dann folgendermaßen:
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> a*b*c*d = 927000000
> a+b+c+d = 927
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> Nun dachte ich könnte man das Produkt benutzen, um
> herauszubekommen aus welchen Primfaktoren a,b,c,d
> bestehen:
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> a*b*c*d = 927000000 = [mm]2^{6}*3^{2}*5^{6}*103^{1}[/mm]
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> Nun weiß ich, dass die Beträge nur aus diesen Faktoren
> zusammengesetzt sein können; aber nun hört es bei mir schon
> auf.
> Ich wollte euch fragen, ob ihr bestimmte
> zahlentheoretische Sätze / Tricks kennt, womit man diese
> Aufgabe möglichst ohne viel "Probieren", sondern mehr oder
> weniger einem Algorithmus folgend eindeutig lösen kann.
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> Ich dachte mir insbesondere weil das Ergebnis eindeutig
> ist, gibt es vielleicht einen guten mathematischen Weg.
> Die Lösung ist: Jedes geordnetes 4-Tupel aus
> {40,225,250,412}.
>
> Vielen Dank für eure Mühe!
Hallo,
Die Aufgabenstellung bietet schon einige Ansätze, um das Feld der ungezählten Möglichkeiten für die vier Zahlen stark zu lichten.
Da ist zunächst mal die Größenabschätzung. Mindestens ein Summand muss größer sein als ein Viertel der Summe, und kein Summand kann so groß sein wie die Summe. Da muss man schauen, ob man die 103 oder ein Vielfaches davon dabei mit "verbraten kann". Die Summe der vier Beträge ist ungerade. Also hat man genau einen oder genau drei ungerade Summanden (im letzteren Fall müssten alle Primfaktoren "2" in dem dann einzigen geraden Faktor eintalten sein). Im ersten Falle müssen die häufigen Faktoren 5 zu einigen Summanden führen, die auf 0 oder 5 enden. Das reduziert die möglichen Endziffern der anderen Summanden. (Bleibt trotzden noch eine Menge Arbeit mit diversen Fallunterscheidungen).
Viele Grüße
Abakus
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Danke schonmal!
Der Hauptangreifpunkt wären ja dann die "Endziffern", denke ich. Dann könnte man aber trotzdem alle möglichen Endziffern mit den Primfaktoren zusammenstellen, und so wäre die 7 am Ende des Ergebnisses immer noch mit viel zu vielen Möglichkeiten darstellbar...
Wenn drei Summanden ungerade sind, wäre ja der letzte Summand auf jeden Fall [mm] 2^{6} [/mm] = 64.
Nun ist die Frage, wieviele Möglichkeiten es dann für die anderen Zahlen gibt, dass sie auf jeden Fall zusammen eine Endziffer 3 ergeben; da scheint es mir immer noch relativ viele Möglichkeiten zu geben:
[mm] 3*5^{3} [/mm] + [mm] 3*5^{3} [/mm] + 103 + 64 = ...7
(die fünfen sind in ungeraden Potenzen vertreten)
[mm] 5^{2} [/mm] + [mm] 3*3*5^{4} [/mm] + 103 + 64 = ...7
(die fünfen sind in ungeraden Potenzen vertreten)
Und es gibt sicher noch viele weitere... und das ist ja nur der Spezialfall, dass nur ein Summand gerade ist (was , wenn man die Lösung kennt, ja sowieso in die Irre laufen wird).
Wenn ich nun eine Summe aus drei geraden und einer ungeraden Summe habe, sind die Möglichkeiten der Darstellung sowieso unbegrenzt, weil wegen den zweien ja dann auch die Endziffern 2,4,6,8,0 möglich sind.
Das würde wahrscheinlich in sehr viel Arbeit ausarten, die auch mathematisch sicher nicht sehr "hübsch" aussieht. Außerdem waren die anderen Aufgaben der Akademie so einfach, dass es hierzu (zumindest hoffe ich es) doch auch eine gute Lösung geben muss 
Hast du (oder jemand anderes ) noch eine Idee, wie man das vielleicht mit Restklassen (die Idee war mir noch gekommen) oder anderem noch besser lösen könnte?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Do 28.02.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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