Untegruppe aller Drehungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:40 So 09.04.2006 | | Autor: | loni |
| Aufgabe | Sei G die Menge der Permutationen: [mm] \{(1), (13), (24), (12)(34), (13)(24), (14)(23), (1234), (1432) \}
[/mm]
Diese Permutationen können als Drehungen interpretiert werden, indem man sie auf die vier Eckpunkte eines Quadrates wirken lässt.
Die Permutationen von G bilden eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe [mm] S_{4}, [/mm] die Symmetriegruppe des Quadrats. Wie lautet die Untegruppe aller Drehungen? |
Also ich kann die Drehunge finden, aber ich verstehe nicht, wie findet man die Untegruppe aller Drehungen?
lg, loni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:57 So 09.04.2006 | | Autor: | reneP |
Hallo Loni,
also das ist gar nicht so schwer. Du machst erst einmal das, was du wahrscheinlich eh schon längst getan hast. Du malst dir ein Quadrat hin und nennst die Ecken 1, 2, 3, 4 Dann guckst du welche Elemente deiner Gruppe einer drehung entsprechen das Element $(1 3)$ entspricht zum Beispiel keiner Drehung Da ja nur 2 Ecken miteinander vertauscht werden somit ist das eher eine Spieglung längs der Spiegelachse die durch die Ecken 2 und 4 läuft.
wenn du dir alle Elemente deiner Gruppe graphisch visualisiert hast weißt du schnell welches die Drehungen sind. Für diese Menge musst du dann aber noch nachrechnen dass es eine untergruppe ist. Also abgeschlossenheit der verknüpfung und inverses Element. Ist aber klar, wenn du dir das graphisch anschaust.
Du hast noch eine andere Möglichkeit vorzugehen.
Die Gruppe die du angegeben hast hat 8 Elemente. Nach dem Hauptsatz von Lagrange weißt du dass es nur Untergruppen mit 1, 2,4, oder 8 Elementen geben kann.
Die Drehungen können keine 8 Elemente haben weil $(1 3)$ z.b. keine Drehung ist. dann weißt du dass $(1)$ in deiner Untergruppe sein muss. Wie gehts nun weiter? Nun du weißt zum Beispiel, dass $(1 2 3 4)$ eine Drehung ist. Wenn $(1 2 3 [mm] 4)\circ [/mm] (1 2 3 4) = (1)$ ist hättest du die Untergruppe aller Drehungen. Das ist es aber nicht somit weißt du dass die Drehungen 4 Elemente haben ( ist anschaulich auch klar warum. Drehung um 90 180 270 und 360=0 Grad)
somit weißt du schon dass das element $(1 2 3 4)$ deine gruppe erzeugt also berechnest du $(1 2 3 [mm] 4)^i$ [/mm] für $i=1,2,3,4=0$
Diese Menge sollte dir eine Gruppe bilden.
So es ist früh am Sonntag morgen ich hoffe, das war alles halbwegsverständlich, was ich geschrieben habe, wenn nicht kannst du ja einfach noch mal nachfragen!
lg René
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