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| Aufgabe | Gegeben sei f = I cos(x) I + cos(x) x Element [0, [mm] 2\pi)
[/mm]
a) Berechnen Sie die Fourier Reihe von f.
b) Zeigen Sie, dass diese auch konvergiert. |
Liebe User,
nachdem ich mehrere Matheaufgaben aus den verschiedenen Themengebieten gemacht habe, sitze ich nun vor dem folgendem Problem :
Ich habe diese Reihe geschickt berechnet ABER komme immer zum selben Problem : Was passiert, wenn n gerade ist und wenn n ungerade ist ?
(Ich meine - ich weiß schon, was dann genau Passiert).
Mache ich hier einen grundsätzlichen Fehler oder ist es wirklich so, dass ich in einer Klausur dann 2 Fourier Reihen kriege, welche ich aufschreiben soll ?
Bitte helft mir, dieses kleine Problem zu meistern 
Liebe Grüße,
Euer KGB-Spion
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:46 Mi 17.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben sei f = I cos(x) I + cos(x) x Element [0, [mm]2\pi)[/mm]
benutze doch bitte den Formeleditor [mm] ($\leftarrow$ klick it!).
$f(x)=|\cos(x)|+\cos(x)\,$.
Das Betragzeichen findest Du auf Deiner Tastatur: Alt Gr + die Taste mit "<,> und |" drücken ;-)
> a) Berechnen Sie die Fourier Reihe von f.
>
> b) Zeigen Sie, dass diese auch konvergiert.
> Liebe User,
>
> nachdem ich mehrere Matheaufgaben aus den verschiedenen
> Themengebieten gemacht habe, sitze ich nun vor dem
> folgendem Problem :
>
> Ich habe diese Reihe geschickt berechnet ABER komme immer
> zum selben Problem : Was passiert, wenn n gerade ist und
> wenn n ungerade ist ?
> (Ich meine - ich weiß schon, was dann genau Passiert).
>
> Mache ich hier einen grundsätzlichen Fehler oder ist es
> wirklich so, dass ich in einer Klausur dann 2 Fourier
> Reihen kriege, welche ich aufschreiben soll ?
Für die obige Funktion gilt ja
$$
f(x)=\begin{cases} 2*\cos(x), & \text{für } x \in \left[0,\frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3}{2}\pi,2\,\pi\right]\,,\\ 0, & \text{für }x \in \left(\frac{\pi}{2},\frac{3}{2}\pi\right)\,.\end{cases}
$$
Die Funktion $f$ ist zudem ersichtlich eine gerade Funktion ($f(-x)=f(x)$), wenn man sie sich $2\,\pi$-periodisch fortgesetzt denkt (und dann auch stetig auf $\IR$).
Damit kannst Du nun die reellen Fourierkoeffizienten $a_n$ ($n \in \IN_0$), und $b_n$ ($n \in \IN_0$) berechnen, wobei Du schon weißt, dass alle $b_n=0$ sein werden (vgl. [/mm] ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Fourierreihe). Folglich hast Du an der Stelle [mm] $\xi \in \IR$ [/mm] die Fourierreihe gegeben durch:
[mm] $f(\xi) \sim \frac{a_0}{2}\,+\,\sum_{n=1}^\infty (a_n \cos(n*\xi)\;+\;b_n \sin(n*\xi))=\frac{a_0}{2}\,+\,\sum_{n=1}^\infty a_n \cos(n*\xi)$,
[/mm]
wobei du für $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] noch die [mm] $a_n$ [/mm] mit [mm] $\pi a_n=\int_{0}^{2\,\pi}\,f(t)\,\cos(nt)\;dt$ [/mm] zu berechnen hast (woraus man sehr schnell [mm] $a_0$ [/mm] berechnet), und dabei überlege Dir noch, dass hier
[mm] $\pi\,a_n=\int_{0}^{2\,\pi}\,f(t)\,\cos(nt)\;dt=2*\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,2\cos(t)\cos(nt)\;dt=2*\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\cos(nt+t)+\cos(nt-t))\;dt$
[/mm]
gilt, was hilft, um [mm] $a_n$ [/mm] für $n [mm] \in \IN$ [/mm] zu berechnen.
Zur Kontrolle:
Ich erhalte
[mm] $f(\xi) \sim \frac{2}{\pi}\,+\,\cos(\xi)\,\,+\,\sum_{n=2, n \text{ gerade}}^\infty \frac{-4}{\pi(n^2-1)}*(-1)^{\frac{n}{2}}\,\cos(n\,\xi) [/mm] = [mm] \frac{2}{\pi}\,+\,\cos(\xi)\,-\,\frac{4}{\pi}*\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^m}{(2m)^2-1}\,\cos(2m\,\xi) =\frac{2}{\pi}\,+\,\cos(\xi)\,-\,\frac{4}{\pi}*\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^m}{4m^2-1}\,\cos(2m\,\xi) [/mm] $
(Wenn Du willst, können wir auch später noch die komplexe Fourierreihe besprechen, aber eigentlich ist das hier nicht so wichtig.)
Ich hoffe mal, ich habe keine großen Rechenfehler...
Gruß,
Marcel
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Also erstmal : VIELEN DANK
Ich habe die Fourier Reihe soweit berechnet, dass ich nur noch die einzelnen [mm] \pi [/mm] `s in die Stammfunktionen einfügen muss.
Nun habe ich auch dass gemacht und bin schon wieder am Verzweifeln, DENN :
z.B. [mm] sin(\pi/2) [/mm] = 1 ABER wenn man für n eine gerade Zahl einsetzt (z.B. 2) Dann käme doch -1 raus.
Haben wir diese Funktion berechnet, müsste ich doch folglich 2 Fourier Reihen rausbekommen : Eine für gerade n und eine für ungerade n ( := 2n+1) oder ?
Ich habe im Prinzip alles so gemacht wie Du es mir empfohlen hast.
Aber schein ich es immernoch nicht so richtig zu verstehen, wie Du bei deinem Endergebnis unter das Summenzeichen schreibst, dass die n gerade seien, ohne den Fall zu berücksichtigen, dass n ungerade sein könnte.
BITTE BITTE BITTE Sag mir, wie und warum Du diesen 2. Fall nicht berücksichtigt hast, denn ich glaube, ich habe ein ernstes Verständnisproblem, was diese n angeht.
Beste Gruesse,
dein KGB-Spion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Mi 17.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also erstmal : VIELEN DANK
>
> Ich habe die Fourier Reihe soweit berechnet, dass ich nur
> noch die einzelnen [mm]\pi[/mm] 's in die Stammfunktionen einfügen
> muss.
> Nun habe ich auch dass gemacht und bin schon wieder am
> Verzweifeln, DENN :
>
> z.B. [mm]sin(\pi/2)[/mm] = 1 ABER wenn man für n eine gerade Zahl
> einsetzt (z.B. 2) Dann käme doch -1 raus.
> Haben wir diese Funktion berechnet, müsste ich doch
> folglich 2 Fourier Reihen rausbekommen : Eine für gerade n
> und eine für ungerade n ( := 2n+1) oder ?
>
> Ich habe im Prinzip alles so gemacht wie Du es mir
> empfohlen hast.
> Aber schein ich es immernoch nicht so richtig zu verstehen,
> wie Du bei deinem Endergebnis unter das Summenzeichen
> schreibst, dass die n gerade seien, ohne den Fall zu
> berücksichtigen, dass n ungerade sein könnte.
>
> BITTE BITTE BITTE Sag mir, wie und warum Du diesen 2. Fall
> nicht berücksichtigt hast, denn ich glaube, ich habe ein
> ernstes Verständnisproblem, was diese n angeht.
mir ist Deine Frage ein wenig unklar. Aber ich mach's gerne auch mal ausführlich:
[mm] $a_0=\frac{4}{\pi}$ [/mm] hast Du ja anscheinend auch erhalten.
(Ein Hilfsmittel, was wir zwischendurch anwenden, und was man mit den Additionstheoremen erkennt:
[mm] $\blue{\cos(x+y)+\cos(x-y)=2\cos(x)\cos(y)}$ [/mm] )
Nun erkennen wir zunächst [mm] $\pi\,a_1=2*\int_0^{\frac{\pi}{2}}\,2*\cos(t)*\cos(t)\;dt=2*\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos(t+t)+\cos(t-t))\;dt=\left[\sin(2t)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+2*\int_0^{\frac{\pi}{2}}1\,dt=\pi$, [/mm]
also [mm] $a_1=1$.
[/mm]
Für $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit $n [mm] \ge [/mm] 2$ gilt:
[mm] $\pi\,a_n=2*\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,2\,\cos(t)\,\cos(nt)\;dt=2*\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,(\cos(nt+t)+\cos(nt-t))\;dt=2*\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\,(\cos((n+1)t)+\cos((n-1)t))\;dt$
[/mm]
[mm] $=2*\left[\frac{1}{n+1}\sin((n+1)t)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}+2*\left[\frac{1}{n-1}\sin((n-1)t)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}\,.$
[/mm]
Wegen [mm] $\sin(0)=0$ [/mm] erhalten wir
[mm] $\pi\,a_n=\frac{2}{n+1}\sin\left((n+1)\frac{\pi}{2}\right)+\frac{2}{n-1}\sin\left((n-1)\frac{\pi}{2}\right)$
[/mm]
und wegen [mm] $\sin\left(k*\frac{\pi}{2}\right)=\begin{cases}0, & \text{falls }k \text{ gerade},\\ (-1)^{\frac{k-1}{2}}, & \text{falls } k \text{ ungerade}\,,\end{cases}$ [/mm] für $k [mm] \in \IZ$, [/mm] erhalten wir schonmal [mm] $\pi\,a_n=0$ [/mm] für alle ungeraden $n [mm] \ge [/mm] 2$ (weil dann sowohl [mm] $\black{n+1}$ [/mm] als auch [mm] $\black{n-1}$ [/mm] gerade sind!), und ferner gilt somit für alle geraden $n [mm] \ge [/mm] 2$ (weil dann sowohl [mm] $\black{n+1}$ [/mm] als auch [mm] $\black{n-1}$ [/mm] ungerade sind):
[mm] $\pi \, a_n=\frac{2}{n+1}*(-1)^{\frac{(n+1)-1}{2}}+\frac{2}{n-1}*(-1)^{\frac{(n-1)-1}{2}}=\frac{2}{n+1}*(-1)^{\frac{n}{2}}+\frac{2}{n-1}*(-1)^{\frac{n}{2}}*\frac{1}{(-1)}$
[/mm]
[mm] $=(-1)^{\frac{n}{2}}*\left(\frac{2}{n+1}-\frac{2}{n-1}\right)=(-1)^{\frac{n}{2}}*\frac{-4}{n^2-1}\,.$
[/mm]
Also insgesamt: Alle [mm] $b_n=0$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] und
[mm] $a_0=\frac{4}{\pi}$, $a_1=1$ [/mm] sowie
[mm] $a_n=\begin{cases}0, & \text{falls }n \ge 3 \text{ ungerade ist}\,\\(-1)^{\frac{n}{2}}*\frac{-4}{\pi(n^2-1)}, & \text{falls } n \ge 2 \text{ gerade ist}\end{cases}\,.$
[/mm]
Das sollte meine obige Darstellung der Fourierreihe erklären. Ist Dir damit denn der Rest der Aufgabe dann klar?
Wie gesagt: Prüfe das bitte alles nochmal auf Rechenfehler meinerseits. Mir ist allerdings unklar, wie Du zwei Fourierreihen "ausrechnen" willst, wenn die Fourierkoeffizienten [mm] $a_n$ [/mm] ($n [mm] \in \IN_0$) [/mm] und [mm] $b_n$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] doch bei den Summanden "einer" (Fourier)Reihe stehen
Also wie gesagt: Ich kann mich durchaus auch irgendwo vertan/verrechnet haben, also bitte nochmals genauestens prüfen und ggf. nachfragen 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 Mi 17.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Nö - Du hast VOLLKOMMEN 100% Recht Ich habe mein Gehirn
> irgendwo liegen lassen und hab nicht erkannt dass wenn man
> t ausklammert (und der Gag : Ich habe es sogar
> ausgeklammert) bei JEDER geraden Zahl wegen dem -1 in der
> Klammer WAS UNGERADES rauskommt daher ist es ja auch
> völlig egal in diesem Fall
>
>
> Nochmals vielen lieben Dank PS: Diese Regel :
> [mm]\sin\left(k\cdot{}\frac{\pi}{2}\right)=\begin{cases}0, & \text{falls }k \text{ gerade},\\ (-1)^{\frac{k-1}{2}}, & \text{falls } k \text{ ungerade}\,,\end{cases}[/mm]
>
> Wo hast Du sie her ?
Na, das erkennt man sehr schnell. Es gibt sicher mehrere Wege, sie einzusehen, wenigstens mal sicher zwei:
Additionstheorem+Induktion (sollte hinhauen, denke ich, ohne mir groß weiter Gedanken dazu machen zu wollen) oder mach es so, wie ich es mir klar gemacht habe:
Mach' es Dir einfach am Einheitskreis klar, das ist eine einfache geometrische Überlegung, wenn man den Sinus am Einheitskreis abzulesen weiß
[mm] ($\pi/2=\frac{2\pi}{4}$, [/mm] man gehe also immer ein Viertel des Umfangs weiter, nur mal so angedeutet...)
Ansonsten auch mal kurz der Weg mit Additionstheorem angedeutet:
Dass [mm] $\sin(k*(\pi/2))=0$ [/mm] für alle geraden $k$ gilt, erhältst Du wegen [mm] $\sin(x+\pi)=-\sin(x)$ [/mm] (folgt aus dem Additionstheorem für den Sinus) und [mm] $\sin(0)=0$. [/mm]
(Denn es ist dabei ja [mm] $\sin(k*(\pi/2))=\sin((k/2)*\pi)$, [/mm] wobei $(k/2)$ eine ganze Zahl ist, da $k$ gerade.)
Das [mm] $\sin(k*(\pi/2))=(-1)^{\frac{k-1}{2}}$ [/mm] für alle ungeraden $k$ gilt, erhälst Du ebenso wegen [mm] $\sin(x+\pi)=-\sin(x)$ [/mm] und [mm] $\sin(\pi/2)=1$. [/mm]
> Gibt es sowas auch für [mm]\pi/3[/mm] (etc.) ?
Ja, bei [mm] $\pi/3$ [/mm] sollte das auch klappen, ich bin nur zu faul, um das nun genau aufzuschreiben. Versuch' Dir sowas doch, wie gesagt, entweder durch geometrische Überlegungen am Einheitskreis klarzumachen oder schau nach, wie man die Additionstheoreme benutzen kann. Den Wert für [mm] $\sin(\pi/3)$ [/mm] und [mm] $\cos(\pi/3)$ [/mm] kann man sich schnell mit geometrischen Überlegungen klarmachen (oder notfalls nachschlagen), mit [mm] $\sin(2x)=\sin(x+x)=2\sin(x)\cos(x)$ [/mm] bekommt man dann den Wert für [mm] $\sin(2 (\pi/3))$ [/mm] und der Wert für [mm] $\sin(\pi)$ [/mm] ist bekannt: [mm] $\sin(\pi)=0$. [/mm] Und alleine mit diesem Wissen kann man dann analog zu oben [mm] $\sin(k*(\pi/3))$ [/mm] ($k [mm] \in \IZ$) [/mm] "allgemein" erschließen.
> Und was ich noch fragen wollte (habs mittlerweile voll
> vergessen) : Wenn ich am Einheitskreis [mm](2\pi[/mm] )/3 "zeichnen"
> soll, dann ist es doch einfach, einfach wenn ich 2 mal [mm]\pi[/mm]
> nach "rechts gehe" und dann einfach 3 mal wieder den selben
> Weg zurück ?
Das verstehe ich nicht ganz:
Also wenn Du das anhand des Bogenstücks machen willst: [mm] $\frac{2}{3}\pi$ [/mm] entsprechen $2*360/3=720/3=240$ Grad. Also wenn Du den Einheitskreis ins kartesische Koordinatensystem mit Mittelpunkt (0,0) zeichnest und dann einen 240 Grad Winkel einzeichnest, so kannst Du damit anhand des zugehörigen Bogenstücks gerade $(2 [mm] \pi)/3$ [/mm] ablesen.
Gruß,
Marcel
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