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Forum "Differentiation" - Unklarheit: Bruch ableiten
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Unklarheit: Bruch ableiten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:25 So 30.01.2011
Autor: zoj

Aufgabe
Zeigen SIe dass f an der Stelle x0=a ein lokales Maximum besitzt.
f(x)= [mm] 3+\bruch{x}{(x+a)^2} [/mm] , a>0

Meine Frage ist, warum ich unterschiedliche Ergebnisse bekomme, wenn ich unterschiedliche Ableitungs-Methoden anwende.

f(x)= [mm] 3+\bruch{x}{(x+a)^2}, [/mm] a>0

Die Funktion kann ich nach der Quotientenregel ableiten.
Das Ergebnis stimmt dann mit der Lösung überein.

f'(x) = [mm] \bruch{a - x}{(x+a)^3} [/mm]

Aber die Funktion:
f(x)= [mm] 3+\bruch{x}{(x+a)^2} [/mm] a>0
kann ich doch auch so hinschreiben:
f(x)= [mm] 3+x(x+a)^{-2} [/mm]
Diese Funktion abgeleitet ergibt nach der Kettenregel:
f'(x)= [mm] -2x(x+a)^{-3} [/mm]
f'(x)= [mm] \bruch{-2x}{(x+a)^{3}} [/mm]

Beide Methoden sind doch zulässig, warum liefert dann nur eine Methode das richtige Ergebnis?
        
Bezug
Unklarheit: Bruch ableiten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:35 So 30.01.2011
Autor: schachuzipus

Hallo zoj,


> Zeigen SIe dass f an der Stelle x0=a ein lokales Maximum
> besitzt.
>  f(x)= [mm]3+\bruch{x}{(x+a)^2}[/mm] , a>0
>  Meine Frage ist, warum ich unterschiedliche Ergebnisse
> bekomme, wenn ich unterschiedliche Ableitungs-Methoden
> anwende.
>  
> f(x)= [mm]3+\bruch{x}{(x+a)^2},[/mm] a>0
>  
> Die Funktion kann ich nach der Quotientenregel ableiten.
>  Das Ergebnis stimmt dann mit der Lösung überein.
>  
> f'(x) = [mm]\bruch{a - x}{(x+a)^3}[/mm]  [ok]
>
> Aber die Funktion:
>  f(x)= [mm]3+\bruch{x}{(x+a)^2}[/mm] a>0
>  kann ich doch auch so hinschreiben:
>  f(x)= [mm]3+x(x+a)^{-2}[/mm] [ok]
>  Diese Funktion abgeleitet ergibt nach der Kettenregel:
>  f'(x)= [mm]-2x(x+a)^{-3}[/mm] [notok]

Nee, nee, du hast doch ein Produkt [mm]\red{x} \ \cdot{} \ \blue{(x+a)^{-2}}[/mm]

Da musst du erstmal die Produktregel anwenden, wobei dann der hintere Faktor nach Kettenregel abgeleitet wird:

Also [mm]f'(x)=\red{[x]'}\cdot{}\blue{(x+a)^{-2}}+\red{x}\cdot{}\blue{\left[(x+a)^{-2}\right]'}=\ldots[/mm]

>  f'(x)= [mm]\bruch{-2x}{(x+a)^{3}}[/mm]
>  
> Beide Methoden sind doch zulässig, [ok]  warum liefert dann nur
> eine Methode das richtige Ergebnis?

Falsche Ableitungsregel in der 2.Version ...

Gruß

schachuzipus



Bezug
                
Bezug
Unklarheit: Bruch ableiten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:14 So 30.01.2011
Autor: zoj

$ [mm] f'(x)=\red{[x]'}\cdot{}\blue{(x+a)^{-2}}+\red{x}\cdot{}\blue{\left[(x+a)^{-2}\right]'} [/mm]

= (1)* [mm] (x+a)^{-2} [/mm] +x*( [mm] -2(x+a)^{-3} [/mm] )
= [mm] (x+a)^{-2} -2x(x+a)^{-3} [/mm]

//Ab hier wirds knifflig:

= [mm] (x+a)^{-2}(1-2x(x+a)^{-1}) [/mm]

= [mm] \bruch{1-2x}{(x+a)^{3}} [/mm]

Bin mir nicht sicher ob das stimmt
Bezug
                        
Bezug
Unklarheit: Bruch ableiten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:19 So 30.01.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


>  $
> [mm]f'(x)=\red{[x]'}\cdot{}\blue{(x+a)^{-2}}+\red{x}\cdot{}\blue{\left[(x+a)^{-2}\right]'}[/mm]
>  
> = (1)* [mm](x+a)^{-2}[/mm] +x*( [mm]-2(x+a)^{-3}[/mm] )
>  = [mm](x+a)^{-2} -2x(x+a)^{-3}[/mm] [ok]
>  
> //Ab hier wirds knifflig:
>  
> = [mm](x+a)^{-2}(1-2x(x+a)^{-1})[/mm] [ok]
>  
> = [mm]\bruch{1-2x}{(x+a)^{3}}[/mm] [kopfkratz3]

Was hast du hier gemacht?

Erstmal ergibt sich doch [mm]\frac{1-2x(x+a)^{-1}}{(x+a)^2}[/mm]

Das nun mit $(x+a)$ erweitern und du bist bei der Form aus der 1.Variante ...

>  
> Bin mir nicht sicher ob das stimmt

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Unklarheit: Bruch ableiten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:56 So 30.01.2011
Autor: zoj

Ahh, ok. Jetzt sehe ich es.
Danke
Bezug
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