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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Unitäre Matrix
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Unitäre Matrix: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 23:39 So 28.10.2012
Autor: Lu-

Aufgabe
Sei [mm] \IK= \IR [/mm] oder [mm] \IK= \IC [/mm] und A [mm] \in M_{n \times n} (\IK) [/mm]
Zeige , dass sich jede unitäre Matrix in der Form [mm] e^A [/mm] schreiben lässt, wobei [mm] A^{\*}= [/mm] -A. Ist A eindeutig? Was lässt sich im reellen Fall sagen?

Hallo,
Sei B eine beliebige unitäre matrix.
Nun unitäre Matrizen sind normal und daher diagonalisierbar.
[mm] \exists [/mm] unitäre Matrix U sodass [mm] U^{-1} [/mm] B U Diagonalgestalt hat.
Ist  [mm] A^{\*} [/mm] = -A so ist auch  [mm] e^A [/mm] unitär bzw. orthogonal, dh [mm] (e^A)^{\*} [/mm] = [mm] (e^A)^{-1} [/mm] (Beweis in Vo)

Nun komme ich leider nicht weiter, hat wer einen Tipp für mich?
Würd mich freuen.

Liebe Grüße

        
Bezug
Unitäre Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:31 Mo 29.10.2012
Autor: Lu-

Hallo,
die AUfgabe hat sich noch immer nicht geklärt aber ich hab noch weiter überlegt:

Sei U [mm] \in U_n [/mm] beliebig.
Unitäre Matrizen sind normal -> (Spektralsatz) [mm] \exists [/mm] O [mm] \in U_n [/mm] : B = [mm] O^{-1} [/mm] U O [mm] =O^{\*} [/mm] U O diagonalgestalt.
-> U = O B [mm] O^{-1} [/mm]
Für die gesuchte Matrix kann analog argumentiert werden: [mm] \exists [/mm] T [mm] \in U_n [/mm] : -> A = TC [mm] T^{\*} [/mm]  mit C diagonalgestalt


Alle Eigenwerte unitärer/orthogonaler matrizen haben Betrag 1. (VO)
Liegen also auf den Einheitskreis.
Kann man die Eigenwerte, die am Einheitskreis liegen nicht durch die Exponentialfunktion irgendwie darstellen?

LG

Bezug
                
Bezug
Unitäre Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:34 Di 30.10.2012
Autor: ullim

Hi,

wenn U unitär ist, dann gibt es eine Matrix S mit [mm] S^{^\*}*U*S=diag(\lambda_1, [/mm] ... , [mm] \lambda_n) [/mm] wobei [mm] \lambda_k [/mm] die Eigenwerte von U sind mit [mm] \left| \lambda_k \right|=1 [/mm]

Man kann [mm] \lambda_k [/mm] als [mm] \lambda_k=e^{i\phi_k} [/mm] schreiben, i=Imaginäre Einheit

Setze [mm] M=diag(\phi_1 [/mm] , ... , [mm] \phi_n) [/mm] und [mm] H=S*M*S^{\*}, [/mm] dann gilt

[mm] e^{iH}=S*diag(\lambda_1 [/mm] , ... , [mm] \lambda_n )*S^{\*}=U [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Unitäre Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:50 Fr 02.11.2012
Autor: Lu-

Dankeschön!!
SChönes Wochenende

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