Uniforme Verteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Für die stochastische Größe X gilt W{X = 0} = 0.1. Der Rest der Wahrscheinlichkeit ist im Intervall (0, 20) stetig uniform verteilt. Ermitteln und zeichnen Sie die Verteilungsfunktion und bestimmen Sie W{X > 10}. Wie lautet der Mittelwert und die Streuung? |
Also die Skizze zur Verteilungsfunktion müsste meiner Meinung nach mal so aussehen:
![[]](/images/popup.gif) http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%280.9%2F20%29*x%2B0.1+from+0+to+20
Wenn X < 0 dann ist die Wahrscheinlichkeit 0 und bei X > 20 ist die Wahrscheinlichkeit 100%. Starten tut das ganze bei 0.1 wie in eben in der Angabe vorgegeben, dazwischen ist es uniform verteilt. Kann das stimmen?
Nur wie berechne ich W{X > 10}? Muss man da die Geradengleichung angeben?
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Achso, ist das nun $ [mm] W\{X>10\}=1-W\{X\le10\}=1-F(10) [/mm] = 1- (0.9/20)*x - 0.1 = 1.1 - (0.9/20)*x $ ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:54 Mi 24.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Achso, ist das nun [mm]W\{X>10\}=1-W\{X\le10\}=1-F(10) = 1- (0.9/20)*x - 0.1 = 1.1 - (0.9/20)*x[/mm]
> ?
Fast. $1-0,1$ ist $0,9$, nicht $1,1$. Und da steht nicht $F(x)$ für irgendein x, sondern für $x=10$. Wenn du das beachtest, erhältst du auch eine konkrete Zahl als Wahrscheinlichkeit.
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Und wie bestimme ich nun den Mittelwert und die Streuung? Ich weiß was das ist, also ich würde so vorgehen, dass ich die Dichtefunktion bestimme und dann diese multipliziert mit x integriere -> aber geht das vielleicht einfacher auch? Weil die Bestimmung der Dichtefunktion ist ja relativ fehleranfällig!?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:25 Mi 24.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Und wie bestimme ich nun den Mittelwert und die Streuung?
> Ich weiß was das ist, also ich würde so vorgehen, dass
> ich die Dichtefunktion bestimme und dann diese
> multipliziert mit x integriere -> aber geht das vielleicht
> einfacher auch? Weil die Bestimmung der Dichtefunktion ist
> ja relativ fehleranfällig!?
Dein Vorschlag erscheint mir so ohne weiteres nicht umsetzbar, denn die Verteilung besitzt ja gar keine Dichte bezüglich des Lebesgue-Maßes.
Wie habt ihr den Erwartungswert einer Zufallsgröße, die weder diskret ist, noch eine Dichte bezüglich des Lebesgue-Maßes besitzt, definiert? Über das Maßintegral?
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Nunja ich weiß wie man dan Erwartungswert einer gemischten Verteilung berechnet, dazu bräuchte ich aber eine modifizierte Dichte.
Einfach 0 * 0.1 + [mm] \bruch{a+b}{2} [/mm] = [mm] \bruch{0+20}{2} [/mm] = 10 funktioniert hier ja nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:39 Do 25.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Nunja ich weiß wie man dan Erwartungswert einer gemischten
> Verteilung berechnet, dazu bräuchte ich aber eine
> modifizierte Dichte.
Ah, gut!
> Einfach 0 * 0.1 + [mm]\bruch{a+b}{2}[/mm] = [mm]\bruch{0+20}{2}[/mm] = 10
> funktioniert hier ja nicht?
Fast. Du hast vergessen, [mm] $\bruch{a+b}{2}$ [/mm] mit 0,9 zu multiplizieren. Ansonsten stimmt es.
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Hm ja das klingt logisch, weil ja die Summer der Wahrscheinlichkeiten, die man für den Erwartungswert benutzt 1 ergeben müssen. Von alleine wäre ich da jetzt aber nicht drauf gekommen, dass man das mit 0,9 multiplizieren muss. Wäre es nur eine Gleichverteilung im Intervall (0,20) dann würde ja [mm] \bruch{a+b}{2}. [/mm] Gibt es da vielleicht noch ein logische Erklärung warum man das multiplizieren muss?
OK, der Mittelwert ist hier also gleich dem Erwartungswert? Die Streuung müsste dann gleich der Varianz sein?
Var(X) = [mm] E(X^2) [/mm] - [mm] (E(X))^2 [/mm] = [mm] 0^2 [/mm] * 0,1 + [mm] \bruch{20+0}{2} [/mm] * [mm] 0,9^2 [/mm] - [mm] 9^2 [/mm] = -72,9. Aber eine negative Streuung? Das kann doch nicht sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:10 Fr 26.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Hm ja das klingt logisch, weil ja die Summer der
> Wahrscheinlichkeiten, die man für den Erwartungswert
> benutzt 1 ergeben müssen. Von alleine wäre ich da jetzt
> aber nicht drauf gekommen, dass man das mit 0,9
> multiplizieren muss. Wäre es nur eine Gleichverteilung im
> Intervall (0,20) dann würde ja [mm]\bruch{a+b}{2}.[/mm] Gibt es da
> vielleicht noch ein logische Erklärung warum man das
> multiplizieren muss?
Benutze die Definition, die ihr für den Erwartungswert einer gemischten Verteilung habt. Damit kannst du den Erwartungswert auf jeden Fall ausrechnen.
Wenn du mir den Anfang (oder eure Definition des Erwartungswertes einer gemischten Verteilung) und eure Definition des Begriffes "modifizierte Dichte" nennst, sollte ich in der Lage sein, dir zu erklären, wie du das [mm] $\bruch{a+b}2$ [/mm] ins Spiel bringen kannst, ohne die komplette Rechnung durchzuführen.
> OK, der Mittelwert ist hier also gleich dem Erwartungswert?
Ich gehe davon aus, dass mit Mittelwert der Erwartungswert gemeint ist.
> Die Streuung müsste dann gleich der Varianz sein?
Der Begriff Streuung wird leider nicht einheitlich verwendet. Vermutlich ist damit die Varianz oder die Standardabweichung gemeint.
> Var(X) = [mm]E(X^2)[/mm] - [mm](E(X))^2[/mm] = [mm]0^2[/mm] * 0,1 + [mm]\bruch{20+0}{2}[/mm] *
> [mm]0,9^2[/mm] - [mm]9^2[/mm] = -72,9. Aber eine negative Streuung? Das kann
> doch nicht sein?
In der Tat kann das nicht sein. Du hast [mm] $E(X^2)$ [/mm] falsch berechnet. Es gilt [mm] $E(X^2)=0,1*0^2+0,9*\integral_{0}^{20}{x^2\bruch1{20} dx}$. [/mm] Wie ihr das begründen könnt, weiß ich leider nicht, da ich noch nicht weiß, wie ihr den Erwartungswert einer gemischten Verteilung definiert habt.
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Der Erwartungswert wurde bei uns so definiert:
µ = [mm] \summe_{i=1}^{k} x_i p(x_i) [/mm] + [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} x*f_{mod}(x)\, [/mm] dx wobei das [mm] f_{mod}(x) [/mm] die modifizierte Dichte ist. Bis jetzt war mir nicht klar wie ich die bestimmte, deshalb hab ich mich auf das [mm] \bruch{a+b}{2} [/mm] versteift - das ist ja der Erwartungswert einer stetigen Gleichverteilung.
Ich kenn zwar keine allgemeine Methode, wie man die modifizierte Dichte berechnet, aber in diesem Fall müsste das: [mm] f_{mod}(x) [/mm] = [mm] \bruch{0,9}{20} [/mm] - also einfach den einen Bereicht der Verteilungsfunktion ableiten???
Die Varianz müsste dann 0*0,9 + [mm] \integral_{0}^{20} \bruch{0,9}{20} [/mm] * [mm] x^2 [/mm] dx - [mm] 9^2 [/mm] = 39 sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 Sa 27.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Ich kenn zwar keine allgemeine Methode, wie man die
> modifizierte Dichte berechnet, aber in diesem Fall müsste
> das: [mm]f_{mod}(x)[/mm] = [mm]\bruch{0,9}{20}[/mm] - also einfach den einen
> Bereicht der Verteilungsfunktion ableiten???
Hier geht das so! Genauer: [mm] $f_{mod}(x) [/mm] = [mm] \begin{cases} \bruch{0,9}{20}, & \mbox{für } x\in(0,20) \\ 0, & \mbox{sonst}\end{cases}$.
[/mm]
(Ob es irgendwelche exotischen Ausnahmen gibt, in denen das so nicht funktioniert, weiß ich nicht, da ich eure genaue Definition von einer modifizierten Dichte nicht kenne.)
> Die Varianz müsste dann 0*0,91 + [mm]\integral_{0}^{20} \bruch{0,9}{20}[/mm]
> * [mm]x^2[/mm] dx - [mm]9^2[/mm] = 39 sein?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Der Erwartungswert wurde bei uns so definiert:
>
> µ = [mm]\summe_{i=1}^{k} x_i p(x_i)[/mm] +
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty} x*f_{mod}(x)\,[/mm] dx wobei das
> [mm]f_{mod}(x)[/mm] die modifizierte Dichte ist. Bis jetzt war mir
> nicht klar wie ich die bestimmte, deshalb hab ich mich auf
> das [mm]\bruch{a+b}{2}[/mm] versteift - das ist ja der
> Erwartungswert einer stetigen Gleichverteilung.
(Das könntest du folgendermaßen anwenden: Es ist $f(x) = [mm] \begin{cases} \bruch1{20}, & \mbox{für } x\in(0,20) \\ 0, & \mbox{sonst}\end{cases}$ [/mm] eine Dichte der stetigen Gleichverteilung im Intervall $(0,20)$. Also gilt [mm] $f_{mod}(x)=0,9*f(x)$ [/mm] für alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] und somit [mm] $\integral_{-\infty}^{\infty}{ x*f_{mod}(x)dx}=0,9*\integral_{-\infty}^{\infty} x*f(x)dx=0,9*\bruch{a+b}{2}$ [/mm] mit $a=0$ und $b=20$. Einfacher scheint mir aber dein neuer Ansatz zu sein.)
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