Ungleichungsbeweis < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Sa 09.11.2013 | | Autor: | Tipsi |
| Aufgabe | Ist [mm] (f_n) [/mm] eine Folge monoton wachsender Funktionen auf [a,b], für die gilt f(x):= [mm] \sum_n f_n(x) \in \mathbb{R} [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] [a,b], so zeige man, dass
a) [mm] \sum_n f_n' \leq [/mm] f' [mm] \lambda-fast [/mm] überall,
b) für die Teilfolge der Restsummen [mm] r_{n_k}:= \sum_{n>n_k} f_n [/mm] mit [mm] r_{n_k}(b) \leq 2^{-k} [/mm] für alle k [mm] \in \mathbb{N} [/mm] gilt [mm] \sum_k r_{n_k}' [/mm] < [mm] \infty \lambda-fast [/mm] überall (was folgt daraus für [mm] lim_k r_{n_k}'?, [/mm]
c) [mm] \sum_n f_n' [/mm] = f' [mm] \lambda-fast [/mm] überall. |
Bedeutet Punkt c, dass in Punkt a eigentlich immer Gleichheit gilt?
Wäre toll, wenn ihr mir helfen könntet, a-c zu lösen.
Liebe Grüße
Tipsi
|
|
| |
|
Hiho,
poste bitte die gesamte Aufgabenstellung, so macht die Aufgabe nämlich gar keinen Sinn.
Es ist absolut nicht klar, war die Striche zu bedeuten haben.
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:31 Sa 09.11.2013 | | Autor: | Tipsi |
Hallo Gono,
danke, dass du dir das Beispiel anschaust.
Ich habe aber schon die ganze Angabe gepostet.
Mit ' bezeichnen wir immer die Ableitungen.
Liebe Grüße
Tipsi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:24 Sa 09.11.2013 | | Autor: | Tipsi |
Gibt es noch eine weitere Unklarheit in der Angabe, die ich klären soll?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:43 So 10.11.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Ich habe aber schon die ganze Angabe gepostet.
> Mit ' bezeichnen wir immer die Ableitungen.
nirgends steht, dass die Funktionen differenzierbar sein sollen. Diese wesentliche Angabe fehlt bspw.
Und dann ist auch gar nicht klar, warum das so definierte f differenzierbar sein sollte.
Ich werde mir die Aufgabe aber nochmal anschauen, wenn ich Zeit hab (frühestens Sonntag abend).
Vielleicht findet sich ja vorher jemand, der dafür Zeit hat.
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:40 So 10.11.2013 | | Autor: | Tipsi |
Hallo,
> nirgends steht, dass die Funktionen differenzierbar sein
> sollen. ´
Ja, da hast du Recht. Leider kann ich aber auch nicht mehr zu dem Beispiel sagen als was ich schon geschrieben habe.
> Ich werde mir die Aufgabe aber nochmal anschauen, wenn ich Zeit hab (frühestens Sonntag abend).
Danke, das wäre super!
Liebe Grüße
Tipsi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:25 So 10.11.2013 | | Autor: | fred97 |
Jedes [mm] f_n [/mm] ist monoton, also ist auch f monoton.
Monotone Funktionen sind fast überall differenzierbar (Lebesgue)
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:17 So 10.11.2013 | | Autor: | Tipsi |
Danke für deinen Beitrag, Fred.
> Jedes [mm]f_n[/mm] ist monoton, also ist auch f monoton.
>
> Monotone Funktionen sind fast überall differenzierbar
> (Lebesgue)
Das klärt nun die Frage der Differenzierbarkeit. Zum Lösen des Bsps benötige ich aber noch genauere Tipps.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:39 Mo 11.11.2013 | | Autor: | Tipsi |
Hallo,
ich bin nach wie vor interessiert an dem Beispiel.
Sollte in der Angabe noch etwas unklar sein, bitte mitteilen.
LG
|
|
|
| |
|
Hiho,
so, dann wollen wir mal:
Ich an deiner Stelle würde die a) gleich mit der c) direkt zeigen.
Kurzform:
1.) Fange links von der Gleichung an
2.) Vertausche Differentiation und Summenbildung
3.) Verwende die Definition
Begründe jeden Schritt, warum du das tun darfst.
Wenn du nicht weißt, wann du Differentiation und Reihenbildung vertauschen darfst, schlage nach.
Für die b) schreibe dein f als Summe von Restglied und "Anfang" und schau mal, was du selbst hinbekommst.
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:29 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Tipsi |
Hallo Gono,
schön, dass du mir hilfst :)
für c habe ich mittlerweile folgenden Beweis:
[mm] \int_{a}^{x} lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^{N}f_n'(t)dt [/mm] = [mm] lim_{N\rightarrow \infty}\sum_{n=1}^{N}\int_a^xf_n'(t)dt [/mm] (gilt das wegen dem Satz von Levi über Konvergenz durch Monotonie und der Additivität des Integrals?) = [mm] \sum_{n=1}^{\infty}\int_a^xf_n'(t)dt [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^\infty f_n(t) \vline_a^x [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^{\infty}(f_n(x)-f_n(a)) [/mm] = [mm] \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) [/mm] - [mm] \sum_{n=1}^{\infty} f_n(a) [/mm] = f(x) - f(a)
also: [mm] \int_{a}^x \sum_{n=1}^{\infty}f_n'(t)dt [/mm] = f(x)-f(a) = [mm] \int_a^x [/mm] f'(t)dt
[mm] \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}f_n'(x) [/mm] = f'(x)
Daraus folgt sofort auch a.
Bei b) bin ich leider nicht so weit gekommen.
Kann es sein, dass die einzelnen [mm] f_n [/mm] für wachsendes n immer kleiner werden? (Dass jede davon selbst monoton wachsen muss, ist mir bewusst.)
Also ich habe folgendes gerechnet und bin dann nicht mehr weitergekommen:
[mm] f=\sum_{n>n_k}f_n [/mm] + [mm] \sum_{n \leq n_k}f_n [/mm]
f(b)-f(a) = [mm] \int_{a}^{b}(\sum_{n>n_k}f_n'(t)+\sum_{n \leq n_k}f_n'(t))dt [/mm] = (darf ich das, obwohl ich nicht weiß, dass alle Summanden positiv sind?) [mm] \int_{a}^b\sum_{n>n_k}f_n'(t) [/mm] dt + [mm] \int_a^b \sum_{n \leq n_k}^b f_n'(t) [/mm] dt = [mm] \int_{a}^b r_{n_k}' [/mm] dt + [mm] \int_a^b \sum_{n \leq n_k} f_n'(t) [/mm] dt = [mm] r_{n_k}(t) \vline_a^b [/mm] + [mm] \sum_{n \leq n_k} f_n [/mm] (t) [mm] \vline_a^b [/mm] = [mm] r_{n_k}(b) [/mm] - [mm] r_{n_k}(a) [/mm] + [mm] \sum_{n \leq n_k} f_n(b) [/mm] - [mm] \sum_{n \leq n_k} f_n(a) \leq 2^{-k} [/mm] - [mm] r_{nk}(a) [/mm] + [mm] \sum_{n \leq n_k} f_n(b) [/mm] - [mm] \sum_{n \leq n_k} f_n(a)
[/mm]
Wie geht's nun weiter?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Fr 15.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
