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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 Mi 01.11.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | Es soll die Lösungsmenge der Folgenden Ungleichung angegeben werden:
x-8+7/x<0 |
Mein bisheriger Ansatz:
x-8+7/x<0 | quadr.
[mm] x^{2}-8x+7<0
[/mm]
dann ausgerechnet mit der p-q-Formel:
x1=7
x2=1
Jetzt Fallunterscheidung:
Fall 1: x>0
Fall 1a: x>0 und x=7 => L11=(0,7)
Fall 1b: x>0 und x=1 => L12 =(0,1)
Fall 2: x<0
Jetzt dreht sich das Vorzeichen in der Ungleichung um:
x-8+7/x<0 | quadr. (dann weiter wie vorher auch)
[mm] x^{2}-8x+7[b]>[/b]0
[/mm]
...
...
und ich krieg natürlich die gleichen Nullstellen raus, wenn ich auch hier nach der P-Q-formel löse:
also x3=7
und x4=1
Jetz betrachte ich die beiden letzten Fälle:
Also Fall 2a: x<0 und x=7
=> meiner Meinung nach ergibt sich hier als Lösung doch die leere Menge, weil ein Widerspruch besteht, da x nicht kleiner 0 und gleichzeitig 7 oder kleiner 7 sein kann. Also: L12=leere Menge
In Fall 2b genau die gleiche Erkenntnis: x<0 und x=1 => L22=leere Menge
Die Gesamtlösung der Aufgabe lautet aber:
[mm] \IL=(1,7)\cap (-\infty,0)
[/mm]
Wie komm ich denn auf das Ergebnis [mm] (-\infty,0) [/mm] ???
Meine Untersuchungen im Fall 2 sagen mir was ganz anderes.
Ich bitte um Hilfe, denn ich glaube inzwichen, dass mein Vorgehen beim lösen bon Ungleichungen falsch ist...
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Hallo RalU,
im Fall 2 (x>0) erhältst Du die Ungleichung [mm] $x^2 [/mm] -8x +7 >0$. Die Nullstellen, die Du ausgerechnet hast, können aber doch nicht zur Lösungsmenge gehören . Linke Seite umformen: $(x-1)(x-7)>0$.
Wann ist das Produkt zweier von 0 versch. Zahlen >0...
Im Fall 1 ebenfalls linke Seite umformen...
Hth
zahlenspieler
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:56 Do 02.11.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | | Also jedenfalls krieg ich hier sowohl in Fall 1 und in Fall 2 jeweils die Nullstellen (1, 7) raus. |
Aber warum gehören die in Fall 2 nicht zur Lösung? Weil gefordert wurde x<0? Wenn nicht, dann verstehe ich aber nicht, warum die beiden Nullstellen die Lösung von Fall 1 sind. L1=(1,7)
Meine Gesamtlösung lautet ja L=(1,7) und [mm] (-\infty, [/mm] 0)
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Hallo RalU,
> Also jedenfalls krieg ich hier sowohl in Fall 1 und in Fall
> 2 jeweils die Nullstellen (1, 7) raus.
> Aber warum gehören die in Fall 2 nicht zur Lösung? Weil
> gefordert wurde x<0? Wenn nicht, dann verstehe ich aber
> nicht, warum die beiden Nullstellen die Lösung von Fall 1
> sind. L1=(1,7)
> Meine Gesamtlösung lautet ja L=(1,7) und [mm](-\infty,[/mm] 0)
Nochmal zusammenfassend:
Für den Fall $x>0$ betrachte die Ungleichung [mm] $x^2-8x+7 [/mm] <0 (= Fall 1 in deiner Lösung; entschuldige, hatte ich in meiner Antwort "vertauscht");
- für $x<0$ (Fall 2 Deiner Lösung) betrachte [mm] $x^2 [/mm] -8x +7>0 [mm] \gdw [/mm] 0>x-8+7/x$.
Wie kommst Du eigentlich darauf, daß 1 und 7 im Intervall $(1,7) liegen ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Fr 03.11.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | | gleiche Aufgabe immernoch |
Naja, natürlich liegen 1 und 7 nicht im Interval (1,7). War ein Fehler von mir. Aber die erste Teillösung (bei mir Fall 1 ist doch L1=(1,7). Ok?
Und ich gehe jetzt einfach mal davon aus, dass meine letzte Vermutung bezüglich der 2. Teillösung (bei mir Fall 2, also für x<0) einfach deshalb [mm] L2=(-\infty, [/mm] 0) ist, weil eben genau das, nämlich (x<0) gefordert ist. Ich hoffe Ihr gebt mir Recht und ich hab endlich verstanden, warum die 2. Teillösung [mm] L2=(-\infty, [/mm] 0) und nichts anderes ist...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:35 Fr 03.11.2006 | | Autor: | chrisno |
Erstmal gebe ich Dir Recht. Dann solltest Du noch einmal nachdenken, warum Du die Nullstellen gesucht hast. Damit erhälst Du Intervalle, die Du einzeln betrachten kannst.
Dabei verwendest Du die Stetigkeit und den Zwischenwertsatz, auch wenn man es nicht extra sagt.
Ich würde Fall 2 etwas einfacher angehen:
Nimm die orginal Ungleichung. Für x < 0 sind alle Terme einzeln < 0, also auch die Summe, fertig.
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