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| Aufgabe | Ermitteln Sie sämtliche Lösungen [mm] x\in\IR [/mm] der folgenden Ungleichung:
[mm] x^{3}-x^{2}< [/mm] 2x |
Hallo,
ich habe Probleme diese Aufgabe zu lösen.
ich dachte ich fange erst einmal so an:
[mm] x(x^{2}-x)<2x
[/mm]
[mm] x^{2}-x<2
[/mm]
[mm] x^{2}-x-2>0
[/mm]
und dann die p-q Formel und würde dann diese werte für x erhalten:
[mm] x_{1}=0; x_{2}=2,08; x_{3}=-1,08 [/mm] ....
allerdings weiß ich nicht ob ich das so machen darf, und ich habe auch immer Probleme ob bzw wann sich das < zum > wandelt ...
Ich wäre euch sehr Dankbar, wenn mir da jemand helfen könnte!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Do 06.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Nicky-011 und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Ermitteln Sie sämtliche Lösungen [mm]x\in\IR[/mm] der folgenden Ungleichung:
Ich sehe hier nur eine Ungleichung.
> [mm]x^{3}-x^{2}<[/mm] 2x
> ich dachte ich fange erst einmal so an:
> [mm]x(x^{2}-x)<2x[/mm]
> [mm]x^{2}-x<2[/mm]
Das stimmt nur für alle [mm] $x>0\$ [/mm] (Wieso?).
(Für [mm] $x=0\$ [/mm] würden wir sogar durch Null teilen!)
> [mm]x^{2}-x-2>0[/mm]
Jetzt bist du durcheinander gekommen. Es ist
[mm] $x^3-x^2<2x\$
[/mm]
[mm] $\Longleftrightarrow x(x^2-x)<2x\$.
[/mm]
Für [mm] $x=0\$ [/mm] gilt die Ungleichung offenbar nicht.
Für [mm] $x>0\$ [/mm] folgt [mm] $x^{2}-x<2\$ [/mm] und somit folgt?
Für [mm] $x<0\$ [/mm] folgt ... und somit folgt?
Alternativ betrachte
[mm] $x^3-x^2<2x\$
[/mm]
[mm] $\Longleftrightarrow f(x):=x^3-x^2-2x<0\$.
[/mm]
Die Nullstellen von [mm] $f\$ [/mm] sind gegeben durch [mm] $x=-1\$, $x=0\$ [/mm] und [mm] $x=2\$ [/mm] (Wieso?),
so dass gilt:
$f(x)=x*(x+1)*(x-2)$.
Betrachte nun [mm] $f(x)<0\$.
[/mm]
Gruß
DieAcht
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Für x>0 folgt [mm] x^{2}-x<2 [/mm] und somit folgt?
[mm] x^{2}-x-2>0 [/mm]
und dann mit der p-q Formel [mm] x_{1}=-1,08 [/mm] und [mm] x_{2}=2,08
[/mm]
Das führt dann im 1.Fall zu [mm] -1,08\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2,08
Für x<0 folgt ... und somit folgt?
[mm] x^{2}+x-2<0
[/mm]
-> [mm] x_{1}=+1,08 [/mm] und [mm] x_{2}=-2,08 [/mm] ....
Das führt dann im 2.Fall zu [mm] -2,08\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1,08
Heißt das jetzt das x werte von [-2,08; 0[ [mm] \cap [/mm] ]0; 2,08]
annehmen kann, oder habe ich da jetzt falsche schlüße gezogen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Do 06.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Für x>0 folgt [mm]x^{2}-x<2[/mm] und somit folgt?
>
> [mm]x^{2}-x-2>0[/mm]
Nein. Das führt auf [mm] x^2-x-2<0.
[/mm]
>
> und dann mit der p-q Formel [mm]x_{1}=-1,08[/mm] und [mm]x_{2}=2,08[/mm]
> Das führt dann im 1.Fall zu [mm]-1,08\le[/mm] x [mm]\le[/mm]
> 2,08
Wie kommst Du denn auf dies komischen Zahlen. Die Acht hat Dir doch schon gesagt, dass die Gleichung
[mm] x^2-x-2=0
[/mm]
die Lösungen [mm] x_1=-1 [/mm] und [mm] x_2=2 [/mm] hat.
Das bedeutet: für x>0 gilt [mm] x^2-x-2<0 [/mm] genau dann , wenn x<2 ist.
Wir haben also den 1. Teil der gesuchten Lösungsmenge:
[mm] L_1=]0,2[
[/mm]
>
> Für x<0 folgt ... und somit folgt?
>
> [mm]x^{2}+x-2<0[/mm]
Nein. Es folgt [mm]x^{2}+x-2>0[/mm]. Das bedeutet: für x<0 ist [mm] x^2-x-2>0 [/mm] genau dann, wenn x<-1 ist.
2. Teil der Lösungsmenge:
[mm] $L_2=] [/mm] - [mm] \infty, [/mm] -1[$
FRED
>
> -> [mm]x_{1}=+1,08[/mm] und [mm]x_{2}=-2,08[/mm] ....
> Das führt dann im 2.Fall zu [mm]-2,08\le[/mm] x [mm]\le[/mm]
> 1,08
>
> Heißt das jetzt das x werte von [-2,08; 0[ [mm]\cap[/mm] ]0; 2,08]
> annehmen kann, oder habe ich da jetzt falsche schlüße
> gezogen?
>
>
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