Ungleichung zeigen < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:16 Fr 16.11.2012 | | Autor: | Terfio |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{i=2}^{n} k^{-1/d} \le 2n^{(d-1)/d}/(n-1) [/mm] mit [mm] n\ge2 [/mm] und [mm] d\ge2 [/mm] |
Hallo an alle,
im Zuge meiner Bachelor-Arbeit muss ich unter die oben stehende Aufgabe lösen, um eine Eigenschaft von Minimal-Spannende-Bäume in d-dimensionalen euklidischen Räumen zu zeigen.
Vollständige Induktion (nach n) funktioniert leider an dieser Stelle nicht. Sobald die Induktionsvoraussetzung beim Induktionsschritt eingesetzt wird, stimmt die Ungleichung nicht mehr!
IA : n=2 [mm] \Rightarrow 2^{-1/d} \le [/mm] 2
IV : ....
IS : n [mm] \rightarrow [/mm] n+1
[mm] (n+1)^{-1/d}+\summe_{i=2}^{n} k^{-1/d} \le 2(n+1)^{(d-1)/d}/n
[/mm]
[mm] \Rightarrow^{IV} (n+1)^{-1/d}+2n^{(d-1)/d}/(n-1) \le 2(n+1)^{(d-1)/d}/n
[/mm]
Und hier stimmt es leider schon nicht mehr für n und d = 2.
Kann mir da bitte einer weiterhelfen? Vielleicht sehe ich ja auch den Wald vor lauter Bäumen nicht :(
Gruß
Terfio
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und willkommen Terfio,
zunächst muss ich bemerken, dass vermutlich dein Summationsindex nicht stimmt. Es sollte wohl i=>k sein.
Damit haben wir:
$ [mm] \summe_{k=2}^{n} k^{-1/d} \le 2n^{(d-1)/d}/(n-1) [/mm] $ mit $ [mm] n\ge2 [/mm] $ und $ [mm] d\ge2 [/mm] $
> Hallo an alle,
> im Zuge meiner Bachelor-Arbeit muss ich unter die oben
> stehende Aufgabe lösen, um eine Eigenschaft von
> Minimal-Spannende-Bäume in d-dimensionalen euklidischen
> Räumen zu zeigen.
> Vollständige Induktion (nach n) funktioniert leider an
> dieser Stelle nicht. Sobald die Induktionsvoraussetzung
> beim Induktionsschritt eingesetzt wird, stimmt die
> Ungleichung nicht mehr!
>
> IA : n=2 [mm]\Rightarrow 2^{-1/d} \le[/mm] 2
Achja? Wenn ich auf der rechten Seite n=2 einsetze erhalte ich:
[mm] 2*2^{(d-1)/d}/(2-1)=2*2^{1-1/d}=4*2^{-1/d}
[/mm]
> IV : ....
> IS : n [mm]\rightarrow[/mm] n+1
>
> [mm](n+1)^{-1/d}+\summe_{i=2}^{n} k^{-1/d} \le 2(n+1)^{(d-1)/d}/n[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow^{IV} (n+1)^{-1/d}+2n^{(d-1)/d}/(n-1) \le 2(n+1)^{(d-1)/d}/n[/mm]
>
> Und hier stimmt es leider schon nicht mehr für n und d =
> 2.
>
> Kann mir da bitte einer weiterhelfen? Vielleicht sehe ich
> ja auch den Wald vor lauter Bäumen nicht :(
Vielleicht möchtest du ja mit diesem Wissen noch einmal starten.
Bei Ungleichungen ist es auch immer ein gutes Mittel geeignet abzuschätzen.
Schönes Wochenende!
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:05 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Terfio |
Ersteinmal Danke, dass du mir geantwortet hast.
Zum Thema Summationsindex :
Ob das nun k oder i heißt ist dabei ja nun wirklich egal, oder? :)
Zum Induktionsanfang : Da habe ich mich etwas verhaspelt, das stimmt. An der Aussage ändert das allerdings trotzdem nichts, da die linke Seite weiterhin kleiner bleibt.
Zum Abschätzen : Das ist mir schon klar ^^
Allerdings finde ich keine Abschätzung die nicht schon zu stark ist. Zumal egal wie ich es abschätze, bei der Induktion muss ich ja zwangsläufig die Induktionsvorraussetzung einsetzen. Selbst wenn ich es nicht abschätze kann man nach dem einsetzen leicht n und d so wählen, dass es nicht mehr stimmt.
Ich hatte mir hier eher einen anderen Ansatz erhofft, oder einen Hinweis, dass ich bei meiner Rechnung einen Fehler gemacht habe :(
Ich sitze weiterhin an dieser Aufgabe. Mir ist auch klar, dass die linke Seite gerade die normalisierte Hamonische Zahl [mm] H^{1/d}_n [/mm] -1 ist. Dies hilft mir nur leider alles nicht weiter.
Ich hoffe mir kann da jmd noch helfen!
Gruß
Terfio
ps : Ich habe keine Ahnung, wie ich in dieses Unterforum gekommen bin. Ich weiß, dass es das falsche ist und ich bitte mir dies nachzusehen ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mo 19.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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