Ungleichung zeigen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:23 Di 23.01.2007 | | Autor: | Disap |
Moin zusammen.
| Aufgabe |
Zu Zeigen: [mm] $\forall [/mm] k > 0$, [mm] $\varepsilon [/mm] > 0: log^kn < [mm] n^{\varepsilon}$
[/mm]
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Gar keine so leichte Aufgabe...
Bedauerlicherweise ist keine Basis des Logarithmusses angegeben. Aber der Definition des LN' s nach muss z. B. der ln > log_10 sein. Oder irre ich mich da?
Dann können wir ja auch davon ausgehen, dass es sich um den ln handelt.
Ich wollte das eigentlich mit Hilfe des Grenzwertes zeigen:
[mm] $\lim_{n \rightarrow \infty} [/mm] = [mm] \frac{log^k(n)}{n^\varepsilon} [/mm] $
Herauskommen muss dann ja "0", da [mm] n^\varepsilon [/mm] dominiert. So kann man das ja noch nicht erkennen. Beim De L'Hospital habe ich da aber auch so meine Schwierigkeiten, den [mm] log^k(n) [/mm] abzuleiten.
Ich frage mich, ob man das mit vollständer Induktion nach n zeigen kann
[mm] $n\to [/mm] 1$
[mm] log^k(1) [/mm] < [mm] 1^{\varepsilon}
[/mm]
Der [mm] ln(1)^k [/mm] ist gleich Null, [mm] 1^{irgendetwas} [/mm] > 0 , also stimmt es
[mm] $n\to [/mm] n+1$
[mm] $log^k(n+1) [/mm] < [mm] (n+1)^{\varepsilon}$
[/mm]
Das bringt mich auch nicht weiter.
Viel geschrieben, nichts gutes bei herumgekommen. Wie kann ich also die Korrektheit der obengenannten Ungleichung nachweisen?
Liebe Grüße
Disap
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> Zu Zeigen: [mm]\forall k > 0[/mm], [mm]\varepsilon > 0: log^kn < n^{\varepsilon}[/mm]
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> Gar keine so leichte Aufgabe...
Hallo,
mich würde die genaue Formulierung der Aufgabe interessieren. Ich glaube nicht, daß Du das so beweisen sollst.
>
> Bedauerlicherweise ist keine Basis des Logarithmusses
> angegeben.
ich halte es hier und heute mit meinem Taschenrechner, welcher sagt, daß log der Logarithmus zur Basis 10 ist.
Du solltest Dich diesbezüglich nach dem usus in Deiner Vorlesung richten.
Wie kann
> ich also die Korrektheit der obengenannten Ungleichung
> nachweisen?
So, wie sie da steht, gar nicht.
Wähle K:=10, n:=100, [mm] \varepsilon:=0.01.
[/mm]
log^kn=2^10=1024.
[mm] n^{\varepsilon}=100^{0.01}<100^{0.5}=10
[/mm]
Gruß v. Angela
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