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Ungleichung zeigen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:41 Fr 09.04.2021
Autor: sancho1980

Aufgabe
Sei $n [mm] \in \IN$ [/mm] und $p, q [mm] \in [/mm] [1, [mm] \infty[$ [/mm] mit $p < q$.
Zeigen Sie

[mm] ${||x||}_p \le n^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}} {||x||}_q$ [/mm]

für alle $x [mm] \in {\IR}^n$. [/mm] (Hinweis: Schreiben Sie [mm] $\summe {|x_i|^p} [/mm] = [mm] \summe {|x_i|^p} \cdot [/mm] 1$ und verwenden Sie die Hölder-Ungleichung mit geeigneten Hölder-Exponenten.)


Hallo,
ich komme hier leider nicht weiter; ich weiß nicht so richtig, wie ich den Hinweis verstehen soll. In der Aufgabe steht $p, q [mm] \in [/mm] [1, [mm] \infty[$ [/mm] mit $p < q$, aber bei der Hölder-Ungleichung [mm] $\summe |x_i y_i| \le {||x||}_p {||y||}_q$ [/mm] gilt [mm] $\frac{1}{p} [/mm] + [mm] \frac{1}{q} [/mm] = 1$.

1) Meine erste Idee war $z = [mm] (z_1, [/mm] ..., [mm] z_n)$ [/mm] mit [mm] $z_i [/mm] = [mm] {x_i}^p$, [/mm] $e = [mm] (e_1, [/mm] ..., [mm] e_n)$ [/mm] mit [mm] $e_i [/mm] = 1$ zu setzen und in die Hölder-Gleichung einzusetzen: [mm] $\summe |z_i e_i| \le {||z||}_p {||e||}_q$. [/mm]

2) Meine zweite Idee war [mm] $\summe {|x_i|^p} [/mm] = [mm] {{||x||}_p}^p$ [/mm] zu "betrachten".

Leider komme ich mit Beiden auf keinen grünen Zweig. Ist hiervon irgendwas zu gebrauchen bzw. was kann mich hier weiterbringen?

Danke und Gruß,

Martin

        
Bezug
Ungleichung zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:42 Fr 09.04.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  ich komme hier leider nicht weiter; ich weiß nicht so
> richtig, wie ich den Hinweis verstehen soll. In der Aufgabe
> steht [mm]p, q \in [1, \infty[[/mm] mit [mm]p < q[/mm], aber bei der
> Hölder-Ungleichung [mm]\summe |x_i y_i| \le {||x||}_p {||y||}_q[/mm]
> gilt [mm]\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

.
Ja, es steht ja auch nirgends, dass du die Hölder-Ungleichung für p und q anwenden sollst, sondern für geeignete Variablen (dazu später mehr).

Überlegen wir uns einfach mal, wie wir den Hinweis verwenden können.
Der Hinweis sagt uns, wir sollen  $ \summe {|x_i|^p}$ umschreiben (wobei es hier ungünstig ist, dass du die Laufvariablen weglässt, aber gut…)
Damit wir das tun können, sollten wir die Ungleichung vielleicht in eine äquivalente Form bringen, die statt $||x||_p$ den gewünschten Ausdruck enthält.

Du weißt hoffentlich, dass $||x||_p^p =  \summe {|x_i|^p}$ gilt, also potenzieren wir beide Seiten mit $p$ und zeigen stattdessen die äquivalente Ungleichung:

$ {||x||}_p^p \le \left(n^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}} {||x||}_q\right)^p  \gdw {||x||}_p^p \le n^{1 - \frac{p}{q}} {||x||}_q^p$

Also fangen wir mit der linken Seite an und verwenden den Hinweis:
$ {||x||}_p^p  =  \summe {|x_i|^p} = \summe {|x_i|^p \cdot 1}$

Wenden wir nun die Hölder-Ungleichung für beliebige a,b mit $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ darauf an, so erhalten wir erstmal:

$ {||x||}_p^p  =  \summe {|x_i|^p} = \summe {|x_i|^p \cdot 1} \le \left(\summe {|x_i|^{ap}\right)^\frac{1}{a} \left(\summe {1^{b}\right)^\frac{1}{b}$

Schön wäre es nun, wenn das das Gewünschte $n^{1 - \frac{p}{q}} {||x||}_q^p$ wäre. Aber da $a$ ja beliebig war, können wir das nun gerade geschickt wählen.


Wie müssen wir nun $a$ wählen, damit $\left(\summe {|x_i|^{ap}\right)^\frac{1}{a} = ||x||_q^p$ gilt?

Was ergibt sich dann für $b$?

Was steht dann insgesamt da?

Gruß,
Gono




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Ungleichung zeigen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:06 Sa 10.04.2021
Autor: sancho1980


> Wie müssen wir nun [mm]a[/mm] wählen, damit [mm]\left(\summe {|x_i|^{ap}\right)^\frac{1}{a} = ||x||_q^p[/mm]
> gilt?

[mm] $\frac{q}{p}$! [/mm]

> Was ergibt sich dann für [mm]b[/mm]?
>  
> Was steht dann insgesamt da?

Super danke!

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Ungleichung zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:12 Sa 10.04.2021
Autor: sancho1980

Aufgabe
Seien $n [mm] \in \IN$ [/mm] und $p, q [mm] \in [1,\infty]$ [/mm] mit $p < q$. Zeigen Sie

[mm] ${||x||}_q \le {||x||}_p$ [/mm]

für alle $x [mm] \in \IR$. [/mm] (Hinweis: Betrachten Sie zunächst den Fall [mm] ${||x||}_p [/mm] = 1$.)

Hallo,
ich habe hier gleich eine Anschlussfrage. Wir haben den Fall [mm] ${||x||}_p [/mm] = 1$ zeigen können. Eigentlich haben wir sogar eine Lösung für den allgemeinen Fall [mm] (${||x||}_p [/mm] > 0$ beliebig), allerdings haben wir den mehr oder weniger irgendwo abgekuckt, und er basiert nicht auf dem Fall [mm] ${||x||}_p [/mm] = 1$, abgesehen davon, dass er ziemlich kompliziert ist.
Wie kann man die Ungleichung für den allgemeinen Fall zeigen, wenn man sie für [mm] ${||x||}_p [/mm] = 1$ voraussetzen kann?
Danke und Gruß,
Martin

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Ungleichung zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:23 Sa 10.04.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

na wie wäre es mit normieren?

Sei [mm] $x\not= [/mm] 0$ beliebig, dann hat [mm] \frac{x}{||x||_p} [/mm] die p-Norm 1.
Jetzt du!

Gruß,
Gono

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Ungleichung zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:43 Sa 10.04.2021
Autor: sancho1980

Hmm, also das mit dieser p-Norm hatten wir noch nicht. Möglich, dass diese Übung auf die nächste Kurseinheit vorbereiten soll, bei der es dann sicher auch darum geht. Aber der Beweis soll sicher mit dem bisher behandelten Stoff gemacht werden.
Was wir im Skript als "Ideengeber" haben ist ein Beweis zur Cauchy-Schwarzschen-Ungleichung [mm] $|\summe_{k=1}^{n} x_k y_k| \le \sqrt{\summe_{k=1}^{n}{{x_k}^2}} \sqrt{\summe_{k=1}^{n}{{y_k}^2}}$. [/mm] Hier werden [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}{{x_k}^2}$ [/mm] und [mm] $\beta [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}{{y_k}^2}$ [/mm] gesetzt und die Ungleichung zuerst für [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \beta [/mm] = 1$ gezeigt. Später für den allgemeinen Fall, indem statt [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] nunmehr [mm] $\alpha' [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}{\frac{{x_k}^2}{\alpha}} [/mm] = [mm] \beta' [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}{\frac{{y_k}^2}{\beta}} [/mm] = 1$ betrachtet werden ...

Jetzt wollte ich hier ähnlich vorgehen und [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}{|x_i|}^p$, [/mm] dann weiß ich ja schon mal, dass [mm] $\wurzel[p]{\alpha} {||x||}_p \ge \wurzel[q]{\alpha} {||x||}_q$, [/mm] aber je nach [mm] $\alpha [/mm] > 1$ oder [mm] $\alpha [/mm] < 1$ kann ja nun [mm] $\wurzel[p]{\alpha} [/mm] > [mm] \wurzel[q]{\alpha}$ [/mm] oder [mm] $\wurzel[p]{\alpha} [/mm] < [mm] \wurzel[q]{\alpha}$ [/mm] gelten, also hilft mir das beim Abschätzen nicht weiter...

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Ungleichung zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:08 Sa 10.04.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Hmm, also das mit dieser p-Norm hatten wir noch nicht.

du hast doch geschrieben:

>  Wir haben den Fall $ [mm] {||x||}_p [/mm] = 1 $ zeigen können.

D.h. ihr habt gezeigt:
$ [mm] {||x||}_q \le {||x||}_p [/mm] $ falls [mm] $||x||_p [/mm] = 1$

Korrekt?

Gruß,
Gono


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Ungleichung zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:00 So 11.04.2021
Autor: sancho1980


>  D.h. ihr habt gezeigt:
>  [mm]{||x||}_q \le {||x||}_p[/mm] falls [mm]||x||_p = 1[/mm]
>  
> Korrekt?

Genau

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Bezug
Ungleichung zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:11 So 11.04.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> >  D.h. ihr habt gezeigt:

>  >  [mm]{||x||}_q \le {||x||}_p[/mm] falls [mm]||x||_p = 1[/mm]
>  >  
> > Korrekt?
>  
> Genau

Ja, dann wende doch mal meinen Tipp an!

Für [mm] $\tilde{x} [/mm] = [mm] \frac{x}{||x||_p}$ [/mm] gilt offensichtlich [mm] $||\tilde{x}||_p [/mm] = 1$

Zeige, dass daraus folgt [mm]{||x||}_q \le {||x||}_p[/mm]

Gruß,
Gono

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Ungleichung zeigen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:06 So 11.04.2021
Autor: sancho1980

Ah danke, verstehe, am Ende lande ich bei [mm] ${{||x||}_p}^q \ge {{||x||}_q}^q$, [/mm] und da ja $q > 1$ ...

Bezug
                                                                
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Ungleichung zeigen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:47 So 11.04.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ah danke, verstehe, am Ende lande ich bei [mm]{{||x||}_p}^q \ge {{||x||}_q}^q[/mm],
> und da ja [mm]q > 1[/mm] ...

wie auch immer du da gelandet bist. Ich brauche das hoch q gar nicht.

1.) Es ist [mm] $||\tilde{x}||_p [/mm] = 1$.

2.) Damit ist [mm] $||\tilde{x}||_q \le ||\tilde{x}||_p [/mm] = 1$

3.) Aber: [mm] $||\tilde{x}||_q [/mm] = [mm] \left|\left|\frac{x}{||x||_p}\right|\right|_q [/mm] = [mm] \frac{||x||_q}{||x||_p}$ [/mm]

d.h. mit 2.) und 3.) gilt: [mm] $\frac{||x||_q}{||x||_p} [/mm] = [mm] ||\tilde{x}||_q \le [/mm] 1 [mm] \iff ||x||_q \le ||x||_p$ [/mm]

Gruß,
Gono


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