Ungleichung von Tschebyscheff < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:37 Fr 25.01.2008 | | Autor: | Denise86 |
| Aufgabe | (a) In einer Kleinstadt gibt es 10000 Wähler. Der Bürgermeisterkandidat Theodor möchte durch eine Befragung von n willkürlich ausgewählten personen das Wahlergebnis mit einer Sicherheit von 97,5 % bis auf + - 1000 Theodor-Wähler vorhersagen lassen. Welche Zahl n ist hinreichend?
(b) Bei der letzten Wahl stimmten 6000 der 10000 Wähler für theodor. Wie viel Befragungen sind jetzt hinreichend, wenn Theodor durch seine Leistungen im Amt davon ausgehen kann, dass seine Beliebtheit
(b1) sich nicht verändert hat,
(b2) gestiegen ist, und er mit mindestens 8000 Theodor-Wählern rechnet? |
Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen? Ich weiß leider nicht wie ich anfangen soll. Würde mich über eure Hilfe riesig freuen!
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Hi, Denise,
> (a) In einer Kleinstadt gibt es 10000 Wähler. Der
> Bürgermeisterkandidat Theodor möchte durch eine Befragung
> von n willkürlich ausgewählten personen das Wahlergebnis
> mit einer Sicherheit von 97,5 % bis auf + - 1000
> Theodor-Wähler vorhersagen lassen. Welche Zahl n ist
> hinreichend?
Da hier keinerlei Hinweis(e) auf Erwartungswert und/oder Standardabweichung gegeben ist/sind, man aber sicher von einer Binomialverteilung ausgehen kann, musst Du die Tschebyschoff-Ungleichung in der "vergröberten" Form anwenden:
[mm] P(|h_{n}- \mu| \le \epsilon) [/mm] > 1 - [mm] \bruch{1}{4*\epsilon ^{2}*n} [/mm]
Das Ergebnis soll laut Aufgabenstellung [mm] \approx [/mm] 0,975 sein und [mm] \epsilon [/mm] = 0,1. Daraus berechnest Du n.
> (b) Bei der letzten Wahl stimmten 6000 der 10000 Wähler für
> theodor. Wie viel Befragungen sind jetzt hinreichend, wenn
> Theodor durch seine Leistungen im Amt davon ausgehen kann,
> dass seine Beliebtheit
> (b1) sich nicht verändert hat,
> (b2) gestiegen ist, und er mit mindestens 8000
> Theodor-Wählern rechnet?
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Sa 26.01.2008 | | Autor: | Denise86 |
| Aufgabe | | Danke sehr. Aber ich frage mich wie du auf $ [mm] P(|h_{n}- \mu| \le \epsilon) [/mm] $ > 1 - $ [mm] \bruch{1}{4\cdot{}\epsilon ^{2}\cdot{}n} [/mm] $ kommst. |
Die Formel lautet doch P({|X-E(X)| [mm] \le \varepsilon}) \ge [/mm] var(X)/ [mm] \varepsilon² [/mm] oder P({|X-E(X)| [mm] \ge \varepsilon}) \le [/mm] 1 - var(X)/ [mm] \varepsilon² [/mm] . Irgendwie verstehe ich die Aufgabe nicht so ganz. Helft mir bitte.
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Hi, Denise,
> Danke sehr. Aber ich frage mich wie du auf [mm]P(|h_{n}- \mu| \le \epsilon)[/mm] > 1 - [mm]\bruch{1}{4\cdot{}\epsilon ^{2}\cdot{}n}[/mm] kommst.
> Die Formel lautet doch P(|X-E(X)| [mm]\le \varepsilon} \ge[/mm]
> var(X)/ [mm]\varepsilon²[/mm] oder P(|X-E(X)| [mm]\ge \varepsilon) \le[/mm] 1 - var(X)/ [mm]\varepsilon²[/mm] . Irgendwie verstehe ich die
> Aufgabe nicht so ganz. Helft mir bitte.
P(|X-E(X)| [mm] \ge \varepsilon) \le [/mm] 1 - var(X) / [mm] \varepsilon²
[/mm]
Das, was Du [mm] \epsilon [/mm] nennst, wird normalerweile a (oder c oder sowas) genannt.
MEIN [mm] \epsilon [/mm] ist dann nämlich: [mm] \epsilon [/mm] = [mm] \bruch{a}{n}.
[/mm]
Da auch [mm] h_{n} [/mm] = [mm] \bruch{X}{n} [/mm] gilt
und für eine Binomialverteilung (!!) p = [mm] \bruch{E(X)}{n} [/mm] sowie Var(X) = np(1-p) kommt man zunächst auf:
[mm] P(|h_{n}- \mu| \le \epsilon) [/mm] > 1 - [mm] \bruch{np(1-p)}{(n*\epsilon) ^{2}}
[/mm]
Da kürzt man natürlich durch n und kriegt:
[mm] P(|h_{n}- \mu| \le \epsilon) [/mm] > 1 - [mm] \bruch{p(1-p)}{n*\epsilon ^{2}}
[/mm]
Wenn man nun p nicht kennt, ersetzt man es (aus Gründen, die ich hier jetzt nicht ausführlich erkläre - Kannst ja ein eigenes Thread dafür aufmachen) durch p=0,5 (was natürlich dann auch heißt: 1-p =0,5)
und so kriegt man die "vergröberte Form" der Tsch.Ungl.:
[mm] P(|h_{n}- \mu| \le \epsilon) [/mm] > 1 - [mm] \bruch{0,25}{n*\epsilon ^{2}} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{4n*\epsilon ^{2}}
[/mm]
(Steht übrigens in jeder guten Formelsammlung!)
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Sa 26.01.2008 | | Autor: | Denise86 |
| Aufgabe | | schön, danke sehr, nun habe ich die Formel, glaube ich, verstanden! Bezieht sich die wahrscheinlichkeit 0,5 beim Herleiten der Formel auf folgende Beziehung: [mm] \sqrt{p(1-p)}\leq \frac{1}{2} [/mm] (aritmetische und geometrische Mittel)? . Dann habe ich alles eingesetzt: 0,975> 1 -1/0,04n und somit n<1000 rausbekommen. |
Wäre das richtig? Könntest du mir auch bei b) helfen?
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Hi, Denise,
> schön, danke sehr, nun habe ich die Formel, glaube ich,
> verstanden! Bezieht sich die wahrscheinlichkeit 0,5 beim
> Herleiten der Formel auf folgende Beziehung:
> [mm]\sqrt{p(1-p)}\leq \frac{1}{2}[/mm] (aritmetische und
> geometrische Mittel)?
Genau das!
> Dann habe ich alles eingesetzt:
> 0,975> 1 -1/0,04n und somit n<1000 rausbekommen.
Eher so: 0,975 [mm] \red{\approx} [/mm] 1 -1/0,04n
Denn: n < 1000 würde ja heißen, dass man Jede beliebige Zahl WENIGER ALS (!) 1000 nehmen könnte! Logik?!
> Könntest du mir auch bei b) helfen?
Schon, aber: Erst morgen!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Sa 26.01.2008 | | Autor: | Denise86 |
| Aufgabe | | Sollte ich vielleicht das schwache gesetz der großen zahlen anwenden? |
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty}\operatorname{P}\left(\left|\overline{X}_n-\mu\right|<\varepsilon\right)=1 [/mm]
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Hi, Denise,
> Sollte ich vielleicht das schwache gesetz der großen zahlen
> anwenden?
>
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}\operatorname{P}\left(\left|\overline{X}_n-\mu\right|<\varepsilon\right)=1[/mm]
Nein, nein! Dieses Gesetz wird zwar mit Hilfe der Tsch.Ungl. bewiesen, hat aber mit unserer Aufgabe nichts zu tun!
Der Unterschied der Aufgaben ist nur:
Bei a) ist praktisch nichts bekannt; daher arbeitet man mit der "vergröberten Form" der Tsch.Ungl. (letztlich mit p=0,5), wodurch natürlich auch die Ergebnisse sehr ungenau werden. (Wenn Du dort n=1000 ausgerechnet hast, heißt das nur: Mit n=1000 bist Du jedenfalls "auf der sicheren Seite"; vielleicht hätten aber in Wirklichkeit auch 700 Befragte genügt!)
Bei b1) kannst Du nun p=0,6 (und q=0,4) einsetzen, sodass Du Var(X) berechnen kannst: Das Ergebnis wird viel "besser" (weniger Befragungen nötig!).
Bei b2) wirst Du analog mit p=0,8 (und q=0,2) rechnen.
Viel Erfolg!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 So 27.01.2008 | | Autor: | Denise86 |
| Aufgabe | Bei b1) kannst Du nun p=0,6 (und q=0,4) einsetzen, sodass Du Var(X) berechnen kannst: Das Ergebnis wird viel "besser" (weniger Befragungen nötig!).
Bei b2) wirst Du analog mit p=0,8 (und q=0,2) rechnen. |
Also benutze ich hier nur eine "normale" Form der Tschbyscheffschen Gleichung? P({X - E(X)| [mm] \le [/mm] a}) [mm] \ge [/mm] VAR(X)/a² ?
VAR(X)=npq, also setze ich n*0,6*0,4 ein. Aber n ist doch nicht bekannt. Ich weiß ehrlich gesagt nicht wie ich weiter vorgehen soll. Ich glaube ich benutze an der Stelle wieder mal eine falsche Form der Formel...
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Hi, Denise,
> Bei b1) kannst Du nun p=0,6 (und q=0,4) einsetzen, sodass
> Du Var(X) berechnen kannst: Das Ergebnis wird viel "besser"
> (weniger Befragungen nötig!).
> Bei b2) wirst Du analog mit p=0,8 (und q=0,2) rechnen.
> Also benutze ich hier nur eine "normale" Form der
> Tschbyscheffschen Gleichung? P(|X - E(X)| [mm]\le[/mm] a) [mm]\ge_[/mm] VAR(X)/a² ?
Naja: Genau wie vorher natürlich die Formel mit "1 - "
> VAR(X)=npq, also setze ich n*0,6*0,4 ein.
> Aber n ist doch nicht bekannt.
Das sollst Du ja auch ausrechnen! (vgl. Aufgabe a)
> Ich weiß ehrlich gesagt nicht wie ich weiter
> vorgehen soll. Ich glaube ich benutze an der Stelle wieder
> mal eine falsche Form der Formel...
Ich würde im Falle einer Binomialverteilung immer gleich die zugehörige Formel verwenden, hier also:
[mm] P(|h_{n}-p| \le \epsilon) [/mm] > 1 - [mm] \bruch{p(1-p)}{n*\epsilon^{2}}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 So 27.01.2008 | | Autor: | Denise86 |
| Aufgabe | | Gut, dass du kommst! Denn ich brauche deine Hilfe, Ich habe mir auch schon überlegt diese Formel zu nehmen. |
Bin mir aber nicht sicher ob [mm] \varepsilon [/mm] = 6000/10000 ist und was ich als Ergebnis für $ [mm] P(|h_{n}-p| \le \epsilon) [/mm] $ nehmen soll. Es muss ja genauso bleiben, also sollte ich $ [mm] P(|h_{n}-p| \le \epsilon) [/mm] $ = 1 nehmen oder (100%Sicherheit). Irgendwie fühle ich mich der Aufgabe nicht so richtig gewachsen, obwohl ich die a) verstanden habe.
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Hi, Denise,
> Ich habe mir auch schon überlegt diese Formel zu nehmen.
> Bin mir aber nicht sicher ob [mm]\varepsilon[/mm] = 6000/10000 ist
Nein, nein!
[mm] \epsilon [/mm] und auch die zu erreichende Wahrscheinlichkeit (97,5%) bleiben die gleichen wie bei a).
Das einzige, was sich ändert, ist p!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 So 27.01.2008 | | Autor: | Denise86 |
| Aufgabe | | Ach, so ist das! Ich dachte die Teilaufgaben a und b sind unabhängig voneinander! |
Na dann sollte das so aussehen:
b1) n [mm] \approx [/mm] 960
b2) n [mm] \approx [/mm] 640
wäre die Antwort richtig???
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Hi, Denise,
> Ach, so ist das! Ich dachte die Teilaufgaben a und b sind
> unabhängig voneinander!
> Na dann sollte das so aussehen:
>
> b1) n [mm]\approx[/mm] 960
> b2) n [mm]\approx[/mm] 640
>
> wäre die Antwort richtig???
Meiner Meinung nach: Ja!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Mo 28.01.2008 | | Autor: | Denise86 |
| Aufgabe | Ich danke dir vielmals für deine Hilfe!!! Danke :)!
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Noch eine kleine Frage: "Kann man denn so einfach die Relation n < 1000 auf n [mm] \approx [/mm] 1000 bzw. 960, 640 ändern?
Danke noch mal!!! Schöne Grüße!!!
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Hi, Denise,
dass Du n [mm] \red{<} [/mm] 1000 rausgekriegt hast, liegt an einem Flüchtigkeitsfehler Deinerseits!
Der Ansatz
1 - [mm] \bruch{1}{0,04*n} \ge [/mm] 0,975 führt nämlich zur Lösung n [mm] \red{\ge} [/mm] 1000.
Und damit ist die gesuchte Mindestzahl 1000 (nicht die Höchstzahl).
Wenn ich immer [mm] \approx [/mm] 1000 etc. schreibe, so nur deshalb, weil die Tsch.Ungl. halt praktisch immer sehr ungenaue Ergebnisse liefert; mehr hat das nicht zu bedeuten.
mfG!
Zwerglein
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