Ungleichung von Jensen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:12 Mi 04.01.2012 | | Autor: | felixt |
| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN [/mm] und x > n. Zeigen Sie, dass [mm] $\summe_{k=-n}^{n} \bruch{1}{x+k}\ge \bruch{2n+1}{x}.
[/mm]
Hinweis: Ungleichung von Jensen. |
Hallo Zusammen!
Ich habe momentan leider noch keine Ahnung, wie ich da vorgehen soll. Kann mir bitte jemand helfen?
Dankeschön!
gruß
felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:46 Mi 04.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei n [mm]\in \IN[/mm] und x > n. Zeigen Sie, dass
> [mm]$\summe_{k=-n}^{n} \bruch{1}{x+k}\ge \bruch{2n+1}{x}.[/mm]
>
> Hinweis: Ungleichung von Jensen.
> Hallo Zusammen!
>
> Ich habe momentan leider noch keine Ahnung, wie ich da
> vorgehen soll. Kann mir bitte jemand helfen?
Benutze den Hinweis !
http://de.wikipedia.org/wiki/Jensensche_Ungleichung
Wähle geschickt die Funktion f , die [mm] x_i [/mm] und die [mm] \lambda_i
[/mm]
FRED
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> Dankeschön!
>
> gruß
> felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Mi 04.01.2012 | | Autor: | felixt |
Ich habe hier eine Definition der Jensen'schen Ungleichung:
[mm] f(\summe_{k=1}^{n}p_k x_k) \le \summe_{k=1}^{n}p_k f(x_k).
[/mm]
Welche Teile entsprechen hier meiner Angabe? Ich kann momentan leider noch garnichts mit der Angabe und der Ungleichung anfangen, weil ich die Zusammenhänge nicht sehe? Mich verwirren glaub ich die Summenzeichen ... :-S
Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Do 05.01.2012 | | Autor: | dennis2 |
Hallo, ich bin auch an der Lösung dieser Aufgabe interessiert.
Kannst Du vllt. noch einen weiteren Tipp geben, fred97?
Mich irritiert der Summationsindex, also für die Anwendung der Jensen-Ungleichung muss dieser doch bei 1 beginnen?
[mm] $\sum_{k=-n}^{n}\frac{1}{x+k}=\sum_{k=-n}^{0}\frac{1}{x+k}+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x+k}$
[/mm]
Und dann die Jensen-Ungleichung nur für die zweite Summe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:49 Fr 06.01.2012 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
[mm] $\sum_{k=-n}^{n}\frac{1}{x+k}$
[/mm]
[mm] $=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x+k}+\sum_{k=-n}^{-1}\frac{1}{x+k}+\frac{1}{x}$
[/mm]
[mm] $=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x+k}+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x-k}+\frac{1}{x}$
[/mm]
[mm] $=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\cdot\frac{n}{x+k}+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\cdot\frac{n}{x-k}+\frac{1}{x}$
[/mm]
Die Funktion [mm] $g(z)=\frac{1}{z}$ [/mm] ist streng monoton auf [mm] $]0,\infty[$. [/mm] Damit ist (Linearkombination konvexer Funktionen) auf die Funktion [mm] $n\cdot g(z)=\frac{n}{z}$ [/mm] streng konvex auf [mm] $]0,\infty[$. [/mm] Definiere nun [mm] $\lambda_k:=\frac{1}{n}$ [/mm] und [mm] $f(z):=\frac{n}{z}$ [/mm] so erhalten wir nach der Jensenschen Ungleichung
[mm] $=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\cdot f(x+k)+\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\cdot f(x-k)+\frac{1}{x}$
[/mm]
[mm] $\geqslant f\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\left(x+k\right)\right)+f\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\left(x-k\right)\right)+\frac{1}{x}$
[/mm]
[mm] $=f\left(\frac{1}{n}\left(xn+\frac{1}{2}\left(n^2+n\right)\right)\right)+f\left(\frac{1}{n}\left(xn-\frac{1}{2}\left(n^2+n\right)\right)\right)+\frac{1}{x}$
[/mm]
[mm] $=f\left(x+\frac{1}{2}(n+1)\right)+f\left(x-\frac{1}{2}(n+1)\right)+\frac{1}{x}$
[/mm]
[mm] $=\frac{n}{x+\frac{1}{2}(n+1)}+\frac{n}{x-\frac{1}{2}(n+1)}+\frac{1}{x}$
[/mm]
[mm] $=\left(\frac{n}{1+\frac{1}{2x}(n+1)}+\frac{n}{1-\frac{1}{2x}(n+1)}+1\right)\frac{1}{x}$
[/mm]
Falls ihr
[mm] $\frac{n}{1+\frac{1}{2x}(n+1)}\geqslant [/mm] n$ fuer $x>n$ und
[mm] $\frac{n}{1-\frac{1}{2x}(n+1)}\geqslant [/mm] n$ fuer $x>n$
zeigen koennt so seit ihr fertig, denn:
[mm] $\geqslant\left(n+n+1\right)\frac{1}{x}$
[/mm]
[mm] $=\frac{2n+1}{x}$
[/mm]
Das ueberlasse ich nun aber Euch. Beachtet, dass ich bislang nirgends die Bedingung $x>n$ verwendet habe.
Gruss Denny
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