Ungleichung mit Supremum < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:57 Mi 19.11.2008 | | Autor: | bene88 |
| Aufgabe | A,B [mm] \subseteq \IR+ [/mm] , A [mm] \not= \emptyset \not= [/mm] B
A und B nach oben beschränkt, [mm] AB:=\{ab | a \in A, b\in b }
[/mm]
beweise:
sup(AB) = sup(A)*sup(B) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
[mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A : a [mm] \le [/mm] sup(A)
[mm] \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] B : b [mm] \le [/mm] sup(B)
[mm] \Rightarrow \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A , b [mm] \in [/mm] B : a*b [mm] \le [/mm] sup(A)*sup(B)
(sup(A)*sup(B) ist obere Schranke von AB)
noch zu zeigen:
[mm] \forall \varepsilon> [/mm] 0 [mm] \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] A : a> [mm] sup(A)-\varepsilon
[/mm]
[mm] \forall \varepsilon> [/mm] 0 [mm] \exists [/mm] b [mm] \in [/mm] B : b> [mm] sup(B)-\varepsilon
[/mm]
a*b > (sup(A) - [mm] \varepsilon)*(sup(B) [/mm] - [mm] \varepsilon)
[/mm]
a*b > sup(A)sup(B) - [mm] \varepsilon*sup(A) [/mm] - [mm] \varepsilon*sup(B) [/mm] + [mm] \varepsilon²
[/mm]
das gilt wenn
| - [mm] \varepsilon*sup(A) [/mm] - [mm] \varepsilon*sup(B)| [/mm] > [mm] \varepsilon²
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] | -sup(A) - sup(B) |> [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] sup(A) + sup(B) > [mm] \varepsilon
[/mm]
hier weiß ich jetzt nicht mehr weiter, weil ich, wenn ich epsilon auf diese weise einschränke, ja keine allgemeine Gültigkeit mehr habe. Ich hatte schon einmal so eine ähnliche aufgabe nur mit addition. da konnte man dann mit [mm] \varepsilon/2 [/mm] arbeiten, es kam automatisch das [mm] \varepsilon [/mm] raus. aber hier finde ich kein [mm] \varepsilon, [/mm] mit dem man es so einfach hat.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:02 Mi 19.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Das war doch schon mal nicht schlecht. Mach es so:
Da A,B $ [mm] \subseteq \IR+ [/mm] $ können wir O.bB.d.A. sup(A), sup(B) >0 annehmen
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0. Dann
$ [mm] \exists [/mm] $ a $ [mm] \in [/mm] $ A : a> $ [mm] sup(A)-\varepsilon/(2sup(B) [/mm] $
$ [mm] \exists [/mm] $ b $ [mm] \in [/mm] $ B : b> $ [mm] sup(B)-\varepsilon/(2sup(A) [/mm] $
Dann folgt:
ab > sup(A)sup(B) - [mm] \varepsilon +\bruch{ \varepsilon^2 }{4sup(A)sup(B)} [/mm] > sup(A)sup(B) - [mm] \varepsilon
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Do 20.11.2008 | | Autor: | bene88 |
> Da A,B [mm]\subseteq \IR+[/mm] können wir O.bB.d.A. sup(A), sup(B)
> >0 annehmen
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] >0. Dann
>
>
> [mm]\exists[/mm] a [mm]\in[/mm] A : a> [mm]sup(A)-\varepsilon/(2sup(B)[/mm]
> [mm]\exists[/mm] b [mm]\in[/mm] B : b> [mm]sup(B)-\varepsilon/(2sup(A)[/mm]
>
> Dann folgt:
>
> ab > sup(A)sup(B) - [mm]\varepsilon +\bruch{ \varepsilon^2 }{4sup(A)sup(B)}[/mm]
> > sup(A)sup(B) - [mm]\varepsilon[/mm]
>
danke für den tipp, das hab ich auch gemacht. ich komme dann aber auf:
ab> sup(A)sup(B) - [mm] \bruch {\varepsilon sup(A)}{2sup(A)} [/mm] - [mm] \bruch {\varepsilon sup(B)}{2sup(B)} [/mm] + [mm] \bruch {\varepsilon²}{4sup(A)sup(B)} [/mm] = sup(A)sup(B) - [mm] \bruch {\varepsilon}{sup(A)} [/mm] - [mm] \bruch {\varepsilon}{sup(B)} [/mm] + [mm] \bruch {\varepsilon²}{4sup(A)sup(B)}
[/mm]
hier seh ich nicht, wie ich die beiden negativen brüche in der mitte zu einem [mm] -\varepsilon [/mm] zusammenfassen kann. gibt es da einen trick?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Do 20.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein letztes = ist einfach falsch, man kann doch supA und supB kuerzen und es bleiben [mm] \epsilon/2
[/mm]
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 Do 20.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Da A,B [mm]\subseteq \IR+[/mm] können wir O.bB.d.A. sup(A), sup(B)
> > >0 annehmen
> > Sei [mm]\varepsilon[/mm] >0. Dann
> >
> >
> > [mm]\exists[/mm] a [mm]\in[/mm] A : a> [mm]sup(A)-\varepsilon/(2sup(B)[/mm]
> > [mm]\exists[/mm] b [mm]\in[/mm] B : b> [mm]sup(B)-\varepsilon/(2sup(A)[/mm]
> >
> > Dann folgt:
> >
> > ab > sup(A)sup(B) - [mm]\varepsilon +\bruch{ \varepsilon^2 }{4sup(A)sup(B)}[/mm]
> > > sup(A)sup(B) - [mm]\varepsilon[/mm]
> >
>
> danke für den tipp, das hab ich auch gemacht. ich komme
> dann aber auf:
>
> ab> sup(A)sup(B) - [mm]\blue{\bruch {\varepsilon sup(A)}{2sup(A)}}[/mm] -
> [mm]\blue{\bruch {\varepsilon sup(B)}{2sup(B)}}[/mm] + [mm]\bruch {\varepsilon²}{4sup(A)sup(B)}[/mm]
> = sup(A)sup(B) - [mm]\red{\bruch {\varepsilon}{sup(A)}}[/mm] - [mm]\red{\bruch {\varepsilon}{sup(B)}}[/mm]
> + [mm]\bruch {\varepsilon²}{4sup(A)sup(B)}[/mm]
>
> hier seh ich nicht, wie ich die beiden negativen brüche in
> der mitte zu einem [mm]-\varepsilon[/mm] zusammenfassen kann. gibt
> es da einen trick?
hast Du neue Kürzungsregeln ge-/erfunden? 
Wie Leduart schon andeutete:
Z.B. gilt [mm] $$\bruch {\varepsilon \text{sup}(B)}{2\text{sup}(B)}=\frac{\varepsilon}{2}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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