Ungleichung mit Induktion bew. < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:28 Do 25.10.2007 | | Autor: | Pieth |
| Aufgabe | | Zu zeigen: Seien x > 0, y > 0, z > 1. Dann gibt es [mm] n_0, [/mm] sodass [mm] n^x [/mm] < [mm] y\cdot z^n [/mm] für alle n > [mm] n_0 [/mm] |
Das wollte ich per vollst. Induktion beweisen, das [mm] n_0 [/mm] zu finden ist glaube ich nicht so schwer, aber beim Induktionsschritt komme ich nicht weiter.
Kann ich den linken Ausdruck denn als Summe von Binomialkoeffizienten schreiben? Also
[mm] (n+1)^x [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{x} \vektor{x \\ i} \cdot n^i\cdot 1^{x-i}
[/mm]
Das x ist nicht weiter eingeschränkt und könnte somit auch [mm] \not\in \IN [/mm] sein, oder?
Mit dem Ausdruck komme ich jedenfalls nicht weiter, hat vielleicht jemand eine andere Idee bzw. einen besseren Ansatz?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:17 Do 25.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
ein Vorschlag: nimm Wende den Logarithmus auf die Ungleichung an. Das geht, weil der Logarithmus eine streng monton steigende Funktion ist:
[mm]x\ln n < \ln y + n \ln z[/mm]
Nach Voraussetzung sind alle Größen positiv.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
