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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Ungleichung mit Exp
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Ungleichung mit Exp: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:58 Sa 12.10.2013
Autor: Aegon

Aufgabe
[mm] |\frac{e^{ixn}-1}{e^{ix}-1}| \leq \frac{2}{|e^{ix/2}-e^{-ix/2}|} , x \in(0,2\pi),n\in \mathbb{N}[/mm]

Ich bin auf diese Ungleichung in einem Buch gestoßen und weiß nicht, wie man zu dieser kommt.
Meine Vermutung war durch [mm]e^{\frac{ix}{2}}[/mm] zu dividieren, damit komme ich auf
[mm] \left| \frac{ e^{ixn-\frac{ix}{2}}-e^{\frac{-ix}{2}}}{e^{\frac{ix}{2}}-e^{\frac{-ix}{2}} \right| = \left| \frac{e^{ix*(n-\frac{1}{2})}-e^{\frac{-ix}{2}}}{e^{\frac{ix}{2}}-e^{\frac{-ix}{2}}}\right|[/mm].
Somit passt zumindest der Nenner, wie komme ich jetzt aber auf die 2 im Zähler?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Ungleichung mit Exp: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:06 Sa 12.10.2013
Autor: tobit09

Hallo Aegon,


> [mm]|\frac{e^{ixn}-1}{e^{ix}-1}| \leq \frac{2}{|e^{ix/2}-e^{-ix/2}|} , x \in(0,2\pi),n\in \mathbb{N}[/mm]
>  
> Ich bin auf diese Ungleichung in einem Buch gestoßen und
> weiß nicht, wie man zu dieser kommt.
> Meine Vermutung war durch [mm]e^{\frac{ix}{2}}[/mm] zu dividieren,
> damit komme ich auf
>  [mm]\left| \frac{ e^{ixn-\frac{ix}{2}}-e^{\frac{-ix}{2}}}{e^{\frac{ix}{2}}-e^{\frac{-ix}{2}} \right| = \left| \frac{e^{ix*(n-\frac{1}{2})}-e^{\frac{-ix}{2}}}{e^{\frac{ix}{2}}-e^{\frac{-ix}{2}}}\right|[/mm].

[ok]


> Somit passt zumindest der Nenner, wie komme ich jetzt aber
> auf die 2 im Zähler?

1. Wende auf den Zähler die Dreiecksungleichung für den Betrag an.
2. Nutze aus, dass [mm] $|e^{iy}|=1$ [/mm] für alle [mm] $y\in\IR$ [/mm] gilt.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Ungleichung mit Exp: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:34 Sa 12.10.2013
Autor: Aegon

Danke für die schnelle Antwort :)

Bezug
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