Ungleichung mit Beträgen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Fr 27.10.2006 | | Autor: | Leni-H |
| Aufgabe | Aufgabe: Zeigen Sie für alle $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] die Ungleichung:
$|a|+|b| [mm] \le [/mm] |a+b| + |a-b|$ |
Könnte mit jemand einen Tipp zu dieser Aufgabe geben? Ich verstehe nicht ganz, wie sie zu lösen ist. Man kann hier ja unendlich viele Fallunterscheidungen machen, da es so viele Beträge sind und weil man nicht weiß, ob a<b oder b<a ist.... Wie kann ich hier vorgehen?
Fürt eine Antwort bzw einen Tipp wäre ich euch sehr dankbar.
LG Leni
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Aufgabe: Zeigen Sie für alle a,b aus R die Ungleichung:
> |a|+|b| ≤ |a+b| + |a-b|
> Könnte mit jemand einen Tipp zu dieser Aufgabe geben?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Der Tip:
|a|+|b| =|(a-b)+b|+|-a+(a+b)| [mm] \le [/mm] ... (mit der Dreiecksungleichung abschätzen).
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Leni-H |
Hi Angela!
Vielen Dank für deine Antwort. Wir haben die Dreiecksungleichung in der Vorlesung noch nicht behandelt. Deshalb kenne ich sie eigentlich noch gar nicht. Natürlich könnte ich sie irgendwo nachlesen, aber geht es evtl auch anders? Muss ich keine Fallunterscheidung machen, so nach dem Motto:
|a|= a für a>=0
-a für a<0
|b|= b für b>=0
-b für b<0 usw?
LG Leni
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>Wir haben die
> Dreiecksungleichung in der Vorlesung noch nicht behandelt.
Das glaube ich nicht.
Die Dreiecksungleichung wird normalerweise direkt nach dem Einführen des Absolutbetrages gezeigt: |x+y| [mm] \le [/mm] |x| +|y|.
Nachlesen mußt Du sie gewiß nicht, das kennt man ja aus der Schule...
Du hst allerdings recht damit, daß Du sie nur verwenden darfst, wenn sie in Vorlesung oder Übung dran war.
Falls Das nicht der Fall war, beweise sie und verwende sie dann.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Leni-H |
Ja, ok, aber was ist dann mit dem |a-b|? Wie soll ich das dann einbringen? Denkst du also, dass ich gar kein Fallunterscheidung machen muss, sondern dass ich es so beweisen kann?
LG Leni
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> Ja, ok,
WAS ist o.K.?
Hattet Ihr die Dreiecksungleichung?
0der hattet Ihr sie nicht?
>aber was ist dann mit dem |a-b|? Wie soll ich das
> dann einbringen? Denkst du also, dass ich gar kein
> Fallunterscheidung machen muss, sondern dass ich es so
> beweisen kann?
Wenn Ihr die Dreiecksungleichung hattet, kannst Du sie in meinem Beweisanfang anwenden.
Du mußt keine Fälle unterscheiden.
Oder kommen in der Dreiecksungleichung verschiedene Fälle vor? Nein. Kommen es nicht. Sie gilt für alle x,y [mm] \in \IR. [/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:17 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Leni-H |
Ne, also wir hatten die Dreiecksgleichung noch nicht und der Absolutbetrag ist bei uns auch noch nicht eingeführt worden, was wahrscheinlich daran liegt, dass die Vorlesung am Mittwoch Morgen wegen der Eröffnung des Akademischen Jahres ausgefallen ist. Unser Prof hat uns das Übungsblatt schon am Montag ausgeteilt und hat wahrscheinlich vergessen, dass am Mittwoch die Vorlesung ausfällt. Ich denke er hätte sonst am Mittwoch den Absolutbetrag bzw. die Dreiecksungleichung eingeführt. Dass wir das ganze noch nicht hatten, macht es für mich halt noch schwieriger. Ich war vorhin mal auf der Homepage unseres Profs und er hat da als Tipp für die Aufgabe angegeben das |x| definiert ist mit x für x>=0 und mit -x für x<0. Aber den Tipp brauch ich ja dann gar nicht, wenn ich es mit der Dreiecksungleichung mache oder? Alles ziemlich verwirrend.....
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Aha. Ich beginne zu verstehen.
Der Absolutbetrag ist lediglich definiert.
Unter dieser Voraussetzung würde ich die Dreiecksungleichung beweisen - das ist was fürs Leben! Es ist ziemlich einfach und sollte in jedem Analysisbuch stehen.
Wenn Du sie bewiesen hast, kannst Du sie auf die gestellte Aufgabe anwenden.
Aber sicher geht's auch auf dem direkteren Weg über die Definition.
Wenn es so machst, gucke ich gern drüber, ob Fehler drin sind.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Leni-H |
Wenn ichs dann mit der Definition mach, muss ich dann jeden Betrag extra definieren? Also mit |a| :=... |b| :=... |a+b| :=... und |a-b| := .... ??
Dann hätt ich ja 2x2x2x2 = 16 Möglichkeiten die Gleichung zu schreiben. Das wär ja übelst viel! Und ich weiß nicht ganz wie ich dann noch einbringen soll, ob a<b oder a>= b ist...
Das Beweisen der Dreiecksgleichung habe ich hinbekommen... juhuuu  Aber ich weiß nicht so recht, wie ich dann weitermachen soll, weil in der Aufgabe ja auch noch der |a-b| drin ist.....
du hast ja geschrieben |a|=|(a-b)+b| und |b|=|(a+b)-a|.....
kann ich dann zB auch schreiben |(a-b)+b| = |a-b| + |b| oder darf man den Betrag nicht aufspalten??
Grüßle
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Planlos |
Hi Lenni. Hab auch grad erst mit mathe angefangen, aber ich hab da ne Idee zu deinem Problem. Ich würde es mit 4 Fällen versuchen und zwar:
1:a positiv, b positiv
2:a positiv, b negativ
3:a negativ, b negativ
4:a negativ, b positiv
Zu 1) |a|+|b|=|a+b| und da |a-b| nie negativ wird gilt die aussage
Zu 2) |a|+|-b| = |a-(-b)| und auch für |a+-b| kommt nichts negatives raus, also auch wahre Aussage
Zu 3) |-a|+|-b|=|-a+-b| auch hier wird ja |-a-(-b)|nicht negativ, also ist auch das gezeigt.
Zu 4 |-a|+|b|=|-a-b|, der Ausdruck |-a+b| wird nicht negativ und so ist jetzt auch das gezeigt
Aus 1,2,3 und 4 folgt deine Behauptung
Ich hoffe das stimmt so.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Leni-H |
Ah, danke.
Aber wieso wird |a-b| im 1.Fall nie negativ? Es kann ja auch sein, dass a=2 und b=5 ist... dann wirds doch negativ, oder?
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> Ah, danke.
> Aber wieso wird |a-b| im 1.Fall nie negativ? Es kann ja
> auch sein, dass a=2 und b=5 ist... dann wirds doch negativ,
> oder?
Nö. Dann ist |a-b| =|2-5| =|-3| = 3.
Der Betrag ist doch immer positiv!!!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:28 So 29.10.2006 | | Autor: | Leni-H |
Hi Planlos!
Danke schonmal für deine Hilfe. Ich versteh aber nicht ganz, warum du bei Fall 1 und 3 |a-b| als Vergleich zu |a|+|b| nimmst und bei Fall 2 und 4 |a+b| als Vergleich? Könnte man nicht immer |a+b| nehmen?
LG Leni
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> Danke schonmal für deine Hilfe. Ich versteh aber nicht
> ganz, warum du bei Fall 1 und 3 |a-b| als Vergleich zu
> |a|+|b| nimmst und bei Fall 2 und 4 |a+b| als Vergleich?
> Könnte man nicht immer |a+b| nehmen?
Hallo,
in den Fällen 2 und 4 hat sich der ansonsten recht planvolle Kollege planlos verhaspelt:
es muß heißen
>2:a positiv, b negativ
>Zu 2) |a|+|-b| = |a+(-b)| und auch für |a+b| kommt nichts negatives raus, also auch wahre Aussage
>4:a negativ, b positiv
>Zu 4 |-a|+|b|=|-a+b|, der Ausdruck |a+b| wird nicht negativ und so ist jetzt auch das gezeigt
Seine Begründung für das, was Du zeigen sollst, gefällt mir inzischen in Anbetracht der Tatsache, daß Ihr ohne Dreiecksungleichung seid, besser.
Gruß v. Angela
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>
> Das Beweisen der Dreiecksgleichung habe ich hinbekommen...
> juhuuu
Prima!
Aber ich weiß nicht so recht, wie ich dann
> weitermachen soll, weil in der Aufgabe ja auch noch der
> |a-b| drin ist.....
Das stört nicht weiter.
> du hast ja geschrieben |a|=|(a-b)+b| und
> |b|=|(a+b)-a|.....
> kann ich dann zB auch schreiben |(a-b)+b| = |a-b| + |b|
> oder darf man den Betrag nicht aufspalten??
Doch. Du darfst das aufspalten, genau dazu wollte ich Dich verlocken.
Warum darfst Du das aufspalten: a-b [mm] \in \IR, [/mm] b [mm] \in \IR. [/mm] Das ist genau die Situation, die Du für die Dreiecksungleichung benötigst. (Du hast beim Beweis drselbigen ja hoffentlich dazugeschrieben Seien x,y [mm] \in \IR...)
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 So 29.10.2006 | | Autor: | Leni-H |
Hi Angela!
Ich bin leider immernoch nicht ganz auf die Lösung gekommen :-(
Ich wollte dich mal fragen, ob das richtig ist, was ich gemacht hab:
|a|+|b| <= |a+b| + |a-b|
|a+b-b| + |a+b-a| <= |a+b| + |a-b|
|a+b| - |b| + |a+b| - |a| <= |a+b| + |a-b|
|a+b| <= |a+b| - |a+b| + |a-b| + |b| + |a|
|a+b| <= |a-b| + |b| + |a|
|a+b| <= |a| + |b| + |a-b|
Dies ist wahr, da |a+b| immer kleiner/gleich |a| + |b| nach Dreiecksungleichung (die eben vorher noch beweisen werden müsste) und |a-b| immer positiv ist.
Ist das so richtig?
LG Leni
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Hallo,
einiges ist richtig, und einiges ist nicht ganz richtig.
Du willst zeigen: |a|+|b| [mm] \le [/mm] |a+b| + |a-b| für alle a,b [mm] \in \IR.
[/mm]
Du hast versucht, Äquivalenzumformungen der zu beweisenden Gleichungen zu machen. Das ist aber insbesondere in Anbetracht der Tatsache, daß zwischendurch abgeschätzt wird, irgendwo auf der Skala zwischen ungeschickt und verkehrt anzusiedeln.
Du schreibst z.B.:
>|a+b-b| + |a+b-a| <= |a+b| + |a-b|
>|a+b| - |b| + |a+b| - |a| <= |a+b| + |a-b| ,
und ich vermute, daß Du sagen willst, daß die Gleichungen äquivalent sind.
Das stimmt aber nicht. Da haben keine Äquivalenzumformungen stattgefunden... (Setze mal a=7 und b=5 ein, das wird Dich überzeugen).
Aber etwas anderes ist viel schlimmer: mein "Tip" war zwar nicht direkt verkehrt, bloß für Deine Aufgabe taugt er nicht die Bohne - führt sogar auf den falschen Weg!!! - was mir eben erst aufgefallen ist, als ich es für Dich schön aufschreiben wollte.
Das tut mir leid, Entschuldigung.
Weiterhin gültig ist aber, daß Du die Dreiecksungleichung verwenden mußt.
Ich zeig Dir jetzt, wie's geht, Dreiecksungleichung vorausgesetzt, und Kleinigkeiten wie A. |x| = |-x| und B. |2x|=2|x| (beweisen mit Fallunterscheidung)
1. |a+b| + |a-b| [mm] \ge [/mm] |(a+b)+(a-b)| (Dreiecksungleichung)
= |2a| = 2|a| (mit B.)
2. |a+b| + |a-b|= |a+b| + |-(a-b)| (mit A.)
[mm] \ge [/mm] |(a+b)+ (-(a-b))| (Dreiecksungl.)
=|a+b| + |-(a-b)| =|2b| = 2 |b| (mit B.)
Addiert man 1. und 2., erhält man
2(|a+b| + |a-b|) [mm] \ge [/mm] 2|a| +2|b|
und hieraus durch Division durch 2 die Behauptung.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:32 So 29.10.2006 | | Autor: | Leni-H |
Vielen Dank Angela!!
Voll lieb, dass dus mir so ausführlich aufgeschrieben hast! Jetzt hab ichs endlich mal verstanden
Liebe Grüße
Leni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 So 29.10.2006 | | Autor: | Leni-H |
Hi Angela!
Nochmal kurz ne Frage. Wie beweis ich dass |x|=|-x|? Das kann ich irgendwie in keinem Buch finden, weil die das alles als Eigenschaft des Absolutbetrags ansehen.
LG Leni
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> Wie beweis ich dass |x|=|-x|?
1.Fall: x [mm] \ge [/mm] 0.
Dann ist nach Def, des Absolutbetrages |x| = x
Wenn x [mm] \ge [/mm] 0 ist -x [mm] \le [/mm] 0. Nach def. des Betrages ist also |x| =- (-x)=x
Insgesamt |x|=|-x|.
2. Fall: x<0
Dann ist |x| = -x.
-x >0, also |-x| = -x.
Also ist auch hier |x|=|-x|.
Gruß v. Angela
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